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Die Fläche unter dem Graphen und die bestimmte Integration

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Bei der bestimmten Integration geht es um die Berechnung von Flächen unterhalb von Funktionsgraphen.

Hier ist eine Funktion, die zwischen a und b folgende Fläche umgrenzt:

Das natürlich nur, wenn f(x) im Intervall [a,b] integrierbar ist und in diesem Intervall eine Stammfunktion hat.

Diese Stammfunktion ist F(x), auch bekannt als unbestimmtes Integral.

Wenn eine solche Stammfunktion nicht existiert, dann wird die Berechnung der Fläche unter dem Graphen zum echten Alptraum.

Alpträume behandeln wir in einer separaten Episode.

Jetzt probieren wir lieber aus, wie die Formel konkret funktioniert. Berechnen wir zum Beispiel die Fläche unterhalb der Kurve x² zwischen den Punkten 0 und 1.

Nach Newton und Leibniz beträgt diese Fläche:

Hier kommt die Stammfunktion:

Und hier müssen wir erst 1 und dann 0 einsetzen.

Und an dieser Stelle müssen wir eine wichtige Sache klarstellen.

Die bestimmte Integration funktioniert so, dass die Flächen oberhalb der x-Achse immer positiv sind,

und die Flächen unterhalb der x-Achse immer negativ.

Das ist das Thema unserer nächsten Geschichte.

Berechnen wir die Fläche zwischen der Funktion f und der x-Achse im Intervall .

Hm, es fällt ein bisschen schwer zu glauben, dass diese Fläche null sein soll …

Das Ergebnis ist deshalb null, weil die Funktion teilweise unter der x-Achse verläuft, und bei der bestimmten Integration wird dieser Teil negativ gezählt.

Die bestimmte Integration und die Berechnung der Fläche unter dem Graphen bedeutet also nicht immer dasselbe.

Wenn die Aufgabe von uns verlangt, diese Funktion zwischen 0 und 6 zu integrieren, haben wir alles perfekt gemacht.

Wenn aber die Aufgabe lautet, die Fläche zwischen dem Funktionsgraphen und der x-Achse zu berechnen, dann sitzen wir im Schlamassel …

Wir müssen als Erstes den Punkt finden, an dem die Funktion die x-Achse schneidet.

Dann bekommen wir zwei Flächen:

Die Fläche ist natürlich positiv.

Und jetzt wird es erst richtig spannend …

Jetzt kommen die Alpträume.

 

Die Fläche unter dem Graphen und die bestimmte Integration

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