Komplexe Zahlen

Sehen wir mal, was komplexe Zahlen sind.

Dazu unterhalten wir uns ein bisschen über Zahlen im Allgemeinen.

Das zum Beispiel ist 3.

Und das ist 4.

Und leider brauchen wir manchmal auch negative Zahlen.

Hin und wieder benötigen wir Zahlen, die Verhältnisse ausdrücken.

Diese nennen wir rationale Zahlen.

Zum Beispiel die Lösung dieser Gleichung:

Es gibt auch Gleichungen, deren Lösungen nicht rationale Zahlen sind.

Und so kommen wir zu den irrationalen Zahlen. Diese füllen auf der Zahlengeraden die Lücken zwischen den rationalen Zahlen.

Und damit sind wir bei den reellen Zahlen angekommen. Jeder Punkt auf der Zahlengeraden ist eine reelle Zahl.

Aber in einigen Fällen – vor allem, wenn es um Physik geht – brauchen wir Zahlen, die ganz besondere Dinge können.

Zum Beispiel das:

Auf Anhieb fallen uns nicht viele Zahlen ein, die so etwas können, denn bekanntlich gilt  

Diese seltsamen Zahlen nennen wir „imaginäre Zahlen“.

Da die reellen Zahlen bereits die gesamte Zahlengerade besetzt haben, können wir die imaginären Zahlen nur auf einer eigenen, im rechten Winkel angeordneten Achse unterbringen.

Die Einheit der imaginären Achse ist .

Und die wichtigste Eigenschaft von  ist: .

Die Zahlen, die sich aus reellen und imaginären Zahlen zusammensetzen, nennen wir komplexe Zahlen.

Die komplexen Zahlen sind also Zahlen in der Form , die auf der sogenannten komplexen Zahlenebene dargestellt werden.

Wir haben hier zwei komplexe Zahlen:

Wie können wir diese beiden Zahlen addieren oder multiplizieren?

Bei der Addition zählen wir einfach die reellen Teile und die imaginären Teile zusammen.

Die Multiplikation ist schon etwas spannender.

Aber .

Am lustigsten ist aber die Division.

Und genau das ist unser nächstes Thema.

Die Idee der komplexen Zahlen entsprang aus unserer Frustration, dass die Gleichung

keine Lösung im Bereich der reellen Zahlen hat.

Wir hätten das Problem mit einem Schulterzucken abtun können – aber es stellte sich heraus, dass eine Lösung insbesondere bei physikalischen Fragen sehr nützlich wäre.

So kamen die imaginären Zahlen ins Spiel.

Ihre Heimat ist die imaginäre Achse, die senkrecht zur reellen Zahlengeraden ausgerichtet ist.

Ihre wichtigste Eigenschaft ist

.

Die aus reellen und imaginären Zahlen in der Form zusammengesetzten Zahlen nennen wir komplexe Zahlen.

Und jetzt sehen wir mal, welche Rechnungen mit komplexen Zahlen möglich sind.

Es gibt hier noch etwas Besonderes: die Konjugierte.

Die Konjugierte der komplexen Zahl  ist .

Die Konjugation ist also eine Abbildung auf der reellen Achse.

Perfekt – jetzt können wir uns die Multiplikation vornehmen.

Die Division wird spannend.

Wir versuchen,  aus dem Nenner zu loszuwerden.

Dazu nehmen wir seine Konjugierte zur Hilfe.

Dieser kleine Trick mit der Konjugierten funktioniert immer.

Wenn wir eine komplexe Zahl mit ihrer Konjugierten multiplizieren, erhalten wir immer eine reelle Zahl:

Dasselbe passiert auch, wenn wir sie addieren:

Aber in einigen Fällen – vor allem, wenn es um Physik geht – brauchen wir Zahlen, die ganz besondere Dinge können.

Zum Beispiel das:

Auf Anhieb fallen uns nicht viele Zahlen ein, die so etwas können, denn bekanntlich gilt  

Diese seltsamen Zahlen nennen wir „imaginäre Zahlen“.

Da die reellen Zahlen bereits die gesamte Zahlengerade besetzt haben, können wir die imaginären Zahlen nur auf einer eigenen, im rechten Winkel angeordneten Achse unterbringen.

Die Einheit der imaginären Achse ist .

Und die wichtigste Eigenschaft von  ist: .

Die Zahlen, die sich aus reellen und imaginären Zahlen zusammensetzen, nennen wir komplexe Zahlen.

Die komplexen Zahlen sind also Zahlen in der Form , die auf der sogenannten komplexen Zahlenebene dargestellt werden.

Wir haben hier zwei komplexe Zahlen:

Wie können wir diese beiden Zahlen addieren oder multiplizieren?

Bei der Addition zählen wir einfach die reellen Teile und die imaginären Teile zusammen.

Die Multiplikation ist schon etwas spannender.

Aber .

Am lustigsten ist aber die Division.

Und genau das ist unser nächstes Thema.

Die Idee der komplexen Zahlen entsprang aus unserer Frustration, dass die Gleichung

keine Lösung im Bereich der reellen Zahlen hat.

Wir hätten das Problem mit einem Schulterzucken abtun können – aber es stellte sich heraus, dass eine Lösung insbesondere bei physikalischen Fragen sehr nützlich wäre.

So kamen die imaginären Zahlen ins Spiel.

Ihre Heimat ist die imaginäre Achse, die senkrecht zur reellen Zahlengeraden ausgerichtet ist.

Ihre wichtigste Eigenschaft ist

.

Die aus reellen und imaginären Zahlen in der Form zusammengesetzten Zahlen nennen wir komplexe Zahlen.

Und jetzt sehen wir mal, welche Rechnungen mit komplexen Zahlen möglich sind.

Es gibt hier noch etwas Besonderes: die Konjugierte.

Die Konjugierte der komplexen Zahl  ist .

Die Konjugation ist also eine Abbildung auf der reellen Achse.

Perfekt – jetzt können wir uns die Multiplikation vornehmen.

Die Division wird spannend.

Wir versuchen,  aus dem Nenner zu loszuwerden.

Dazu nehmen wir seine Konjugierte zur Hilfe.

Dieser kleine Trick mit der Konjugierten funktioniert immer.

Wenn wir eine komplexe Zahl mit ihrer Konjugierten multiplizieren, erhalten wir immer eine reelle Zahl:

Dasselbe passiert auch, wenn wir sie addieren:

Und jetzt wäre es an der Zeit, etwas Sinnvolles mit diesen komplexen Zahlen anzustellen.

Das ist ein Polynom. Versuchen wir, es als ein Produkt linearer Faktoren zu schreiben.

Dabei kommt uns diese binomische Formel zunutze:

Versuchen wir jetzt, Folgendes in ein Produkt umzuformen:

Eine binomische Formel in dieser Form gibt es nicht:

Also müssen wir auch hier die vorherige Formel einsetzen – ein kleiner Trick hilft uns dabei.

Jetzt wird es etwas komplizierter.

Ein großer Vorteil der komplexen Zahlen besteht darin, dass wir mit ihrer Hilfe jedes Polynom in ein Produkt aus linearen Faktoren zerlegen können.

Das nennen wir den Grundsatz der Algebra.

Und jetzt lösen wir ein Paar quadratische Gleichungen, die wir bisher als hoffnungslos abgetan haben.

Das ist ein Polynom. Versuchen wir, es als ein Produkt linearer Faktoren zu schreiben.

Dabei kommt uns diese binomische Formel zunutze:

Versuchen wir jetzt, Folgendes in ein Produkt umzuformen:

Eine binomische Formel in dieser Form gibt es nicht:

Also müssen wir auch hier die vorherige Formel einsetzen – ein kleiner Trick hilft uns dabei.

Jetzt wird es etwas komplizierter.

Ein großer Vorteil der komplexen Zahlen besteht darin, dass wir mit ihrer Hilfe jedes Polynom in ein Produkt aus linearen Faktoren zerlegen können.

Das nennen wir den Grundsatz der Algebra.

Und jetzt lösen wir ein Paar quadratische Gleichungen, die wir bisher als hoffnungslos abgetan haben.

Hier ist die Lösungsformel:

Der Absolutbetrag einer komplexen Zahl entspricht ihrem Abstand vom Nullpunkt.

Diesen Abstand können wir mit dem Satz des Pythagoras berechnen.

Sehen wir uns eine weitere Aufgabe an.

Die Lösungsformel lassen wir mal beiseite und versuchen stattdessen, den Ausdruck in ein Produkt zu zerlegen.

Und jetzt sehen wir mal, wozu die komplexen Zahlen noch zu gebrauchen sind.

Versuchen wir nun, auf der komplexen Zahlenebene jene komplexen Zahlen darzustellen, für die gilt:

Wir verwenden die algebraische Form (auch als arithmetische Form bezeichnet):

Und jetzt folgen ein Paar Horrorgeschichten zur Koordinatengeometrie.

Die Gleichung

beschreibt einen Kreis mit dem Radius r und dem Mittelpunkt im Koordinatenursprung.

Analog dazu ist  ebenfalls ein Kreis, dessen Mittelpunkt im Koordinatenursprung liegt und der den Radius r=2 hat.

Und  beschreibt den Kreis und dessen Inneres.

Horrorgeschichten zur Koordinatengeometrie:

Geradengleichung:

Kreisgleichung:

Wo liegen nun auf der komplexen Zahlenebene jene komplexen Zahlen, für die gilt:

Wir verwenden die algebraische Form, das heißt, statt z schreiben wir überall  

Die Ungleichung beschreibt die Punkte auf einer Seite der Geraden.

Sehen wir mal, um welche Seite es sich handelt.

Es empfiehlt sich, mit a=0 und b=0 zu experimentieren.

Das scheint zu stimmen, also muss dies die gesuchte Seite sein.

Jetzt sehen wir uns mal Folgendes an:

Diese Ungleichung beschreibt die Punkte auf einer Seite der Kreislinie.

Entweder die Innenseite oder die Außenseite des Kreises.

Auch hier ist es sinnvoll, mit a=0 und b=0 zu experimentieren.

Es scheint also, dass die gesuchten Punkte außerhalb des Kreises liegen.

Und da die Gleichheit ausgeschlossen ist,

ist die Kreislinie nicht in der gesuchten Menge enthalten.

Sehen wir uns zum Schluss noch das hier an:

Die quadratische Ergänzung ist hier ganz hilfreich.

Es gibt ein großes Problem mit der algebraischen Form komplexer Zahlen. Es ist nämlich fast unmöglich, sie zu potenzieren.

Versuchen wir zum Beispiel Folgendes zu berechnen:

Puh.

Das kann ja nur ein schlechter Scherz sein …

Es muss doch einen einfacheren Weg geben, komplexe Zahlen zu potenzieren!

Das hier ist die übliche algebraische Form einer komplexen Zahl,

und jetzt ersetzen wir sie durch eine trigonometrische Form, die sogenannte Polarform.

Die Grundidee der Polarform ist, dass wir komplexe Zahlen mithilfe von zwei neuen Merkmalen beschreiben: Absolutbetrag und Winkel.

Den Betrag bezeichnen wir mit r,

und den Winkel nennen wir Theta. Hier ist er:

Die Polarform macht die Multiplikation und Division von komplexen Zahlen

überraschend einfach.

Kehren wir nun zum Problem des Potenzierens zurück.

Wir wollen mal berechnen, wie viel  ist.

Wir rechnen in die Polarform um.

Und jetzt potenzieren wir.

Die n-te Potenz erhalten wir, indem wir r hoch n nehmen und den Winkel mit n multiplizieren:

Somit erhalten wir

… und wenn wir wollen, können wir das wieder in die algebraische Form umrechnen.

Versuchen wir jetzt Folgendes zu berechnen:

Als Erstes brauchen wir die Polarformen.

Aber es gibt ein kleines Problem.

Die Gleichung

hat noch eine zweite Lösung.

Wir können uns auch per Münzwurf für eine der beiden Lösungen entscheiden,

sinnvoller ist es aber, eine grafische Darstellung zur Hilfe zu nehmen.

Wir es scheint, brauchen wir die negative Lösung.

Und jetzt kommt die Multiplikation.

Jetzt folgen ein Paar Zaubertricks:

Aber wo ist hier der Trick?

Die Wahrheit ist: Es gibt keinen Trick.

Als wir seinerzeit definiert haben, was  bedeutet, haben wir gesagt, dass .

Dabei gibt es noch eine andere Zahl, die im Quadrat 4 ergibt: –2.

Im komplexen Zahlenbereich ist die Lage noch viel witziger.

So gilt zum Beispiel

Aber:

Mehr noch,

Es gibt also nicht weniger als vier Zahlen, die in der 4-ten Potenz 1 ergeben.

Dieses kleine Problem veranlasst uns, die Wurzel im komplexen Zahlenbereich anders zu definieren als im reellen Bereich.

Im reellen Bereich entspricht die n-te Wurzel einer Ausgangszahl immer genau einer einzigen Zahl, im komplexen Bereich hingegen umfasst sie alle Zahlen, die in der n-ten Potenz die Ausgangszahl ergeben.

Zum Beispiel:

reell               komplex

Die n-te Wurzel einer komplexen Zahl  ist jede komplexe Zahl in der Form

für die gilt:

 und      

r ist hier eine reelle Zahl, die den Betrag der komplexen Zahl angibt.

Das ist also eine normale Wurzeloperation im reellen Bereich, wie wir sie gewohnt sind.

WURZELZIEHEN

Wir haben hier diese komplexe Zahl:

Und jetzt sehen wir mal, was passiert, wenn wir zum Beispiel die fünfte Wurzel daraus ziehen.

Als Erstes benötigen wir die Polarform.

Jetzt können wir die Wurzel ziehen.

Die n-te Wurzel einer komplexen Zahl  ist jede komplexe Zahl in der Form

für die gilt:

 und      

r ist hier eine reelle Zahl, die den Betrag der komplexen Zahl angibt.

Das ist also eine normale Wurzeloperation im reellen Bereich, wie wir sie gewohnt sind.

WURZELZIEHEN

Wir haben hier diese komplexe Zahl:

Und jetzt sehen wir mal, was passiert, wenn wir zum Beispiel die fünfte Wurzel daraus ziehen.

Als Erstes benötigen wir die Polarform.

Jetzt können wir die Wurzel ziehen.

Das sind nicht weniger als fünf komplexe Zahlen.

k=5 ist nicht mehr interessant, denn dieser Fall ist mit k=0 identisch.

So viel zum Thema Wurzelziehen.

Die komplexen Zahlen haben noch eine weitere interessante Darstellungsform: die Exponentialform.

Hier ist sie:

Wozu die Exponentialform gut ist?

Sie macht die Operationen im komplexen Zahlenbereich noch einfacher.

Sehen wir mal, wie die Exponentialform uns das Leben erleichtert.

Rechnen wir zum Beispiel z4 mit der Exponentialform aus.

Die sogenannte Eulersche Formel besagt:

Dann haben wir hier noch eine weitere Aufgabe. Berechnen wir die Kubikwurzel dieser komplexen Zahl.

Die n-te Wurzel einer komplexen Zahl  ist jede komplexe Zahl in der Form

für die gilt:

 und      

r ist hier eine reelle Zahl, die den Betrag der komplexen Zahl angibt.

Das ist also eine normale Wurzeloperation im reellen Bereich, wie wir sie gewohnt sind.

WURZELZIEHEN

Wir haben hier diese komplexe Zahl:

Und jetzt sehen wir mal, was passiert, wenn wir zum Beispiel die fünfte Wurzel daraus ziehen.

Als Erstes benötigen wir die Polarform.

Jetzt können wir die Wurzel ziehen.

Das sind nicht weniger als fünf komplexe Zahlen.

k=5 ist nicht mehr interessant, denn dieser Fall ist mit k=0 identisch.

So viel zum Thema Wurzelziehen.

Die komplexen Zahlen haben noch eine weitere interessante Darstellungsform: die Exponentialform.

Hier ist sie:

Wozu die Exponentialform gut ist?

Sie macht die Operationen im komplexen Zahlenbereich noch einfacher.

Sehen wir mal, wie die Exponentialform uns das Leben erleichtert.

Rechnen wir zum Beispiel z4 mit der Exponentialform aus.

Die sogenannte Eulersche Formel besagt:

Dann haben wir hier noch eine weitere Aufgabe. Berechnen wir die Kubikwurzel dieser komplexen Zahl.