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Was sind parametrische Kurven?

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Das hier ist die Ebene (x,y). Eine Wespe legt darauf diesen merkwĂĽrdigen Weg zurĂĽck.

Da die Wespe auf der Ebene munter hin und her krabbelt, können wir ihren Weg nicht mit Funktionen von einer Variablen beschreiben, denn eine Funktion kann jeder x-Koordinate nur eine einzige y-Koordinate zuordnen.

In unserem Fall wäre das nicht besonders hilfreich.

Um den Weg der Wespe zu beschreiben, benötigen wir parametrische Kurven.

Eine parametrische Kurve gibt fĂĽr jeden Zeitpunkt die x- und y-Koordinate der Wespe an. Und die z-Koordinate noch dazu, wenn die Wespe wegfliegt.

Aber zum Kennenlernen der parametrischen Kurven lassen wir die Wespe erst mal nur krabbeln, das heiĂźt, wir bleiben in der Ebene.

Die x-Koordinate der Wespe wird durch die Funktion x=f(t) als Funktion der Zeit beschrieben. Im Laufe der Zeit ändert sich die Koordinate x=f(t) kontinuierlich.

Die y-Koordinate der Wespe wird wiederum durch die Funktion

y=g(t)

beschrieben.

Wenn die Wespe beispielsweise eine Kreisbahn mit einem Radius von 10 cm abläuft, dann beschreibt eine Kosinusfunktion ihre x-Koordinate …

und eine Sinusfunktion ihre y-Koordinate.

Die Geschwindigkeit der Wespe lässt sich durch die Parameterwahl beeinflussen.

Wenn die Wespe zum Beispiel den Kreis in t=60 s ablaufen soll, mĂĽssen wir die Kurve so parametrieren:

Wir mĂĽssen die Kurve also so modifizieren, dass wir den Punkt p im Zeitpunkt t=30 erreichen.

So mĂĽsste es klappen. Probieren wir es aus.

Wenn zum Beispiel t=15, dann

Oder wenn t=30, dann

Es scheint also zu funktionieren.

Was passiert, wenn der Radius des Kreises 7 cm statt 10 cm beträgt, und die Wespe den Kreis in 40 statt 60 Sekunden abläuft?

Wir mĂĽssen nur diesen Wert durch 7 ersetzen, und diesen durch 20.

Und jetzt wollen wir uns etwas Spannenderes ansehen.

Unser Protagonist ist unverändert, aber diesmal brauchen wir noch einen Plattenspieler.

Die Wespe ruht sich gerade am Rand der Schallplatte aus, als wir den Plattenspieler einschalten und die Platte sich zu drehen beginnt. FĂĽr eine volle Umdrehung braucht sie 4 Sekunden.

Aus dem letzten Fall wissen wir noch, dass der Weg der Wespe durch diese parametrische Kurve beschrieben wird:

R = Radius der Platte

a =halbe Umdrehungszeit

Der Durchmesser einer Schallplatte beträgt 30 cm, d. h. R=15. Die Umdrehungszeit beträgt 4 Sekunden, die Hälfte davon ist a=2.

Und jetzt wird es richtig spannend …

Die Wespe beginnt jetzt nämlich, mit 2 cm/Sekunde auf den Mittelpunkt der Schallplatte zuzukrabbeln.

Daraus ergibt sich diese lustige spiralförmige Kurve.

Der Unterschied zu vorhin besteht darin, dass der Radius jetzt nicht den festen Wert R=15 hat, sondern um 2 cm pro Sekunde kĂĽrzer wird:

Diese Kurve wird die Spirale des Archimedes genannt.

In der klassischen Archimedischen Spirale bewegt sich die Wespe vom Mittelpunkt des Kreises nach auĂźen.

Die Geschwindigkeit der Wespe beträgt immer noch 2 cm/Sekunde, so dass der Radius zu Beginn null ist und pro Sekunde um 2 cm zunimmt:

Hier kommt die bekannte Formel:

Aber leider gibt es hier ein kleines Problem.

Und zwar dreht sich in dieser Formel die Platte in positiver Richtung.

In unserem Fall aber nicht.

Um die Formel entsprechend anzupassen, müssen wir t mal –1 nehmen.

Vielleicht erinnert sich noch der eine oder andere an diese schrecklichen Formeln:

Die Platte braucht immer noch 4 Sekunden fĂĽr eine Umdrehung, d. h. a=2.

Und jetzt wird es noch aufregender …

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