Ein bisschen Geometrie
Jetzt kommt ein bisschen Geometrie.
Aber nur was ganz Leichtes, also nicht aufregen. Wir fangen mit Vektoren und Geraden in der Ebene an.
GERADENGLEICHUNG: Gleichung einer Geraden durch den Punkt mit dem Normalenvektor
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Zur Erinnerung: Der Normalenvektor einer Geraden ist ein vom Nullvektor verschiedener Vektor, der senkrecht zur Geraden steht.
VEKTOR ZWISCHEN ZWEI PUNKTEN: Koordinatenform des Vektors zwischen den Punkten und
ENTFERNUNG ZWISCHEN ZWEI PUNKTEN: der Abstand der Punkte und zueinander
All dies gilt auch im dreidimensionalen Raum, nur mit drei Koordinaten.
EBENENGLEICHUNG: Gleichung einer Ebene durch den Punkt mit dem Normalenvektor
:
Zur Erinnerung: Der Normalenvektor einer Geraden ist ein vom Nullvektor verschiedener Vektor, der senkrecht zur Geraden steht.
VEKTOR ZWISCHEN ZWEI PUNKTEN: Koordinatenform des Vektors zwischen den Punkten und
ENTFERNUNG ZWISCHEN ZWEI PUNKTEN: der Abstand der Punkte und zueinander
Versuchen wir jetzt, die Geradengleichung im Raum aufzustellen. Sie wäre sehr nützlich für uns, ist hier aber nicht aufgeführt.
Das wird nicht ohne Probleme gehen, aber probieren wir es einfach.
Stellen wir die Gleichung der Geraden auf, die durch den Punkt führt und den Normalenvektor hat.
Wir müssen einen Richtungsvektor statt eines Normalenvektors verwenden, denn im Raum ist es leider nicht eindeutig, welche Vektoren senkrecht zur Geraden stehen.
Der Richtungsvektor ist hingegen eindeutig, nur die Länge kann variieren.
Wenn ein beliebiger Punkt auf der Geraden ist, dann
Der Vektor ergibt mit einer Zahl multipliziert den Richtungsvektor der Geraden.
Wenn , dann teilen wir durch A; wenn es null ist, dann
Wenn , dann teilen wir durch B; wenn es null ist, dann
Wenn , dann teilen wir durch C; wenn es null ist, dann
Hier ist alles gleich , das heißt, die Ausdrücke sind auch untereinander gleich.
Dies ist das Gleichungssystem der Geraden im Raum.
Schauen wir uns ein Beispiel an.
Stellen wir die Gleichung der Geraden auf, die durch den Punkt führt und den Richtungsvektor
hat.
Dies ist das Gleichungssystem der Geraden:
Mit haben wir ein Problem.
In einem solchen Fall gilt
Sehen wir uns jetzt eine typische Aufgabe an.
Stellen wir in der Ebene die Gleichung der Geraden auf, die durch den Punkt führt und zur Geraden mit der Gleichung senkrecht steht.
Stellen wir im Raum die Gleichung der Ebene auf, die den Punkt enthält und zur Geraden mit dem Gleichungssystem senkrecht steht.
Der Normalenvektor der Geraden ist
Um diesen Vektor nutzen zu können, müssen wir ihn um drehen, dann wird er nämlich zum Normalenvektor der gesuchten Geraden.
Um einen Vektor in der Ebene um zu drehen, vertauschen wir seine Koordinaten und nehmen eine von ihnen mal .
Wir haben den Normalenvektor, und somit lautet die Gleichung unserer Geraden:
Was können wir hier unternehmen?
Der Normalenvektor der Ebene ist genau der Richtungsvektor der Geraden.
Normalenvektor der Ebene
Hier ist die Gleichung der Ebene:
Jetzt kommt noch eine andere typische Aufgabe.
Stellen wir in der Ebene die Gleichung der Geraden auf, die durch die Punkte und führt.
Stellen wir im Raum die Gleichung der Ebene auf, die die Punkte , und enthält.
Gleichung einer Geraden durch den Punkt mit dem Normalenvektor :
Gleichung einer Ebene durch den Punkt mit dem Normalenvektor :
Punkte haben wir genug, aber keinen Normalenvektor. Also müssen wir ihn berechnen.
Wir drehen das um und schon haben wir den Normalenvektor.
Um einen Vektor in der Ebene um zu drehen, vertauschen wir seine Koordinaten und nehmen eine von ihnen mal .
Gleichung der Geraden:
Bei der Ebene gibt es jedoch ein kleines Problem.
Im Raum können wir nicht einfach einen Vektor um drehen.
Also müssen wir uns etwas anderes einfallen lassen, um den Normalenvektor der Ebene zu bekommen.
Wir brauchen einen Vektor, der zum Dreieck, das von den Punkten , und aufgespannt wird, orthogonal (senkrecht) ist. Dieser Vektor ist das sogenannte Kreuzprodukt (Vektorprodukt).
Das Kreuzprodukt der Vektoren und ist der Vektor .
Dieser ist orthogonal zur Ebene, die durch die Vektoren und aufgespannt wird, und