LINEAR UNABHÄNGIGE UND LINEAR ABHÄNGIGE VEKTOREN

Beginnen wir mit zwei spannenden Definitionen. Zuerst wollen wir sehen, worum es genau geht, und dann nehmen wir uns gleich einige Beispiele vor, die das Ganze verständlich machen.

Die Vektoren sind linear unabhängig, wenn

nur dann erfüllt ist, wenn jeder

Die Vektoren sind linear abhängig, wenn

auch dann erfüllt ist, wenn manche

Sehen wir uns dazu einige Beispiele an! Nehmen wir mal diese Vektoren:

Überlegen wir, zu welcher Art diese Vektoren gehören, das heißt, wann erfüllt ist, dass

Wenn alle , dann erhalten wir natürlich den Nullvektor.

Interessanter ist es, dass für

ebenfalls der Nullvektor herauskommt.

Das heißt, auch dann kann der Nullvektor herauskommen, wenn nicht alle sind – in diesem Fall sind sogar alle verschieden von null. In solchen Fällen sagen wir, dass die Vektoren linear abhängig sind.

Die Erklärung dafür ist sehr einfach: Der dritte Vektor ist die Summe der ersten beiden.

Dies bedeutet, dass der dritte Vektor mit Hilfe der beiden anderen Vektoren erzeugt werden kann.

Nur so können wir den Nullvektor erhalten, ohne dass alle sind. Diese Tatsache meinen wir, wenn wir sagen, dass Vektoren linear abhängig sind.

Es gibt auch Vektoren, die nicht linear abhängig sind.

Sehen wir uns genauer an, wie es sich mit ihnen verhält: