Barion Pixel Polynomfunktionen, Potenzfunktionen | MATHEKING
 

Hier erfährst du, wie die Funktionen x³ und x⁴ sowie Potenzfunktionen im Allgemeinen aussehen. Wir zeigen dir auch, was Potenzfunktionen mit geraden und ungeraden Exponenten gemeinsam haben. Dies bringt uns zur Parität von Funktionen, also zu geraden und ungeraden Funktionen.

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Wenn wir die verschiedenen Potenzen von x addieren, erhalten wir Polynome.

Das ist zum Beispiel x5.

Und wenn wir davon x3 subtrahieren …

dann erhalten wir diese kurvenreiche Polynomfunktion.

Hier ist die allgemeine Form einer Polynomfunktion.

Verhalten von Polynomfunktionen

Der Koeffizient des Glieds mit der höchsten Potenz ist der Leitkoeffizient.

Und das Verhalten der Polynomfunktion wird durch das Glied mit der höchsten Potenz bestimmt.

Wenn der Exponent des höchsten Gliedes gerade ist und der Leitkoeffizient positiv, sieht die Polynomfunktion so aus.

Ha n páros

bei geradem n

Ha n páratlan

bei ungeradem n

Oder so.

Und so sieht es bei einem negativen Leitkoeffizienten aus.

Die Polynomfunktionen ungeraden Grades sehen ganz anders aus.

Wenn der Leitkoeffizient positiv ist, verlaufen sie von hier unten nach oben …

und bei negativem Leitkoeffizienten von oben nach unten.

Eine Polynomfunktion geraden Grades kann der x-Achse aus dem Weg gehen.

Aber eine Polynomfunktion ungeraden Grades muss die x-Achse mindestens einmal schneiden.

Deshalb haben Polynomfunktionen ungeraden Grades immer eine Nullstelle.

Und jetzt werden wir ein paar künstlerisch wertvolle Bilder malen.

Wir beginnen mit einer Polynomfunktion dritten Grades, die genau zwei Nullstellen hat.

Eine Polynomfunktion dritten Grades hat immer mindestens eine Nullstelle.

Und es kann bis zu drei geben.

Aber mit einem kleinen Trick bekommen wir auch zwei Nullstellen hin.

Der nächste Abschnitt unserer künstlerischen Karriere ist eine Polynomfunktion vierten Grades mit drei Nullstellen.

Manche Polynomfunktionen vierten Grades haben keine Nullstelle …

und manche haben eine.

Manche haben sogar zwei.

Es können aber auch vier sein.

Aber bei vier ist Schluss.

Eine Polynomfunktion n-ten Grades kann höchstens n Nullstellen haben.

Bei ungeradem Grad kann es zwischen 1 und n Nullstellen geben.

Bei geradem Grad gibt es 0 bis n Nullstellen.

Jetzt wollen wir gerade drei Nullstellen haben.

Nichts einfacher als das.

Versuchen wir herauszufinden, welcher der drei Graphen zu dieser Polynomfunktion gehört.

Der erste Graph ist von diesem Typ.

Eine Polynomfunktion ungeraden Grades.

Aber wir haben hier eine Funktion vierten Grades.

Die anderen beiden sehen schon besser aus.

Aber für solche Extraschlenker …

müsste hier noch etwas stehen.

Entweder x3

oder x2

oder beide.

Aber wir haben weder das eine noch das andere.

Unser Gewinner ist also der mittlere Kandidat.

Sehen wir uns gleich noch ein Beispiel an.

Welcher der drei Graphen gehört zu dieser Polynomfunktion?

Der erste Graph bildet eine Polynomfunktion geraden Grades ab.

Damit ist er aus dem Rennen.

Die anderen beiden zeigen Polynomfunktionen ungeraden Grades.

Wenn wir hier noch ein x hätten …

dann könnte es eine solche Extrakurve geben.

Haben wir aber nicht.

04 Darstellung von Potenzfunktionen; Parität einer Funktion Sehen wir uns nun an, wie die verschiedenen Potenzfunktionen aussehen. x hoch 2 kennen wir bereits. Als nächstes kommt x hoch 3. Und so sieht x hoch 4 aus. Und das ist x hoch 5. Die Potenzfunktionen mit geraden Exponenten sehen alle ziemlich ähnlich aus. Die Funktionen mit ungeraden Exponenten ähneln sich ebenfalls. Die Funktionen vom Typ … mit geraden Exponenten sind symmetrisch zur y-Achse. Die Funktionen vom Typ … mit ungeraden Exponenten sind hingegen zum Nullpunkt symmetrisch. Diese Eigenschaft einer Funktion nennen wir Parität. Funktionen, die zur y-Achse symmetrisch sind, nennen wir gerade Funktionen. Die Besonderheit dieser Funktionen ist, dass für alle x im Definitionsbereich der Funktion Folgendes gilt: Funktionen, die zum Ursprung symmetrisch sind, nennen wir ungerade Funktionen. Bei ungeraden Funktionen gilt für alle x im Definitionsbereich: Natürlich gibt es Funktionen, die weder gerade noch ungerade sind. Ein Beispiel ist die Quadratwurzelfunktion. Bald werden uns noch weitere solche Funktionen begegnen.

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