Das uneigentliche Integral
Die Berechnung des zweiten Bereichs ist schon haariger.
Als Erstes brauchen wir diese Schnittpunkte.
Und jetzt kommen wir zu den Flächen.
Die gesuchte Fläche ist:
Jetzt kommt etwas ganz Witziges.
Wir integrieren bis unendlich.
Wie groß könnte zum Beispiel diese Fläche sein:
Die Integration bis geht so: Erst integrieren wir bis ,
und dann befehlen wir , gefälligst gegen zu streben.
Schauen wir mal, wie groß dieser Grenzwert sein könnte.
Vielleicht können wir diese Rechenstützen gebrauchen:
Aber so lassen sie sich einfacher merken.
Hier kommt die nächste Aufgabe:
Natürlich kann es auch vorkommen, dass beide Grenzen unendlich sind:
In diesem Fall teilen wir die Integration auf, zum Beispiel bei null.
In Wirklichkeit beträgt diese Fläche 1/3+1/3=2/3, aber die bestimmte Integration funktioniert so, dass die Flächen unterhalb der x-Achse ein negatives Vorzeichen haben.
Deshalb ist null als Ergebnis herausgekommen.
Diese ins Unendliche reichenden Integrale nennen wir uneigentliche Integrale.
Die bisher gesehenen Integrale liefen entlang der x-Achse gegen unendlich, aber es gibt auch solche, die entlang der y-Achse gegen unendlich streben.
Zum Beispiel hier:
Der Lösungsweg ist jedoch der gleiche.
Wenn wir die Funktion
auf der positiven Zahlengeraden integrieren, erhalten wir von 0 bis 1 und von 1 bis unendlich uneigentliche Integrale.
Schauen wir zunächst, was passiert, wenn wir von 0 bis 1 integrieren.
Den Fall werden wir uns separat vornehmen.
Und jetzt wollen wir den Grenzwert berechnen.
Wir setzen zuerst 1 ein,
und dann überlegen wir, was passiert, wenn .
Wenn also der Exponent eine positive Zahl ist,
dann kommt hier null heraus.
Wenn der Exponent negativ ist …
dann ist der Grenzwert unendlich.
Wenn genau 1 ist:
Jetzt kommen wir zum Bereich 1 bis unendlich.
Für ist der Exponent positiv,
und dann ist das Integral divergent.
Und wenn genau 1 ist:
Fassen wir zusammen: Für ist das Integral von 0 bis 1 divergent und von 1 bis unendlich konvergent.
Für ist das Integral von 0 bis 1 konvergent und von 1 bis unendlich divergent.
Für ist das Integral durchgehend divergent.
Was passiert, wenn wir diese Funktion f(x) um die x-Achse drehen?
Ganz einfach: Es entsteht ein Rotationskörper.
Berechnen wir nun das Volumen dieses Rotationskörpers …
zum Beispiel zwischen a und b.
Das Volumen besteht aus solchen Scheiben.
Der Radius der Scheibe ist genau f(x).
Das Volumen einer solchen Scheibe ist:
Und das Gesamtvolumen aller Scheiben von a bis b …
entspricht genau diesem Integral.
Die Oberfläche ist schon interessanter:
Diese Erkenntnisse werden uns später noch gelegen kommen.
Nehmen wir zum Beispiel diese Funktion:
Wir drehen sie um die x-Achse.
Berechnen wir nun das Volumen und die Oberfläche dieses Rotationskörpers zwischen 0 und 1.
Was könnte noch kommen?
Hier ist diese Funktion …
Wir drehen sie diesmal um die y-Achse.
Wie groß sind das Volumen und die Oberfläche dieses Rotationskörpers?
Keine Ahnung – unsere Formel gilt nur für die Drehung um die x-Achse.
Das Volumen dieses Körpers können wir hingegen schon berechnen.
Und diesen Körper erhalten wir, indem wir die Inverse von f um die x-Achse drehen.
Was könnte aber die Inverse von f sein?
Tutorial Technische Mathematik 1.