Und jetzt sehen wir mal, wozu die komplexen Zahlen noch zu gebrauchen sind.

Versuchen wir nun, auf der komplexen Zahlenebene jene komplexen Zahlen darzustellen, für die gilt:

Wir verwenden die algebraische Form (auch als arithmetische Form bezeichnet):

Und jetzt folgen ein Paar Horrorgeschichten zur Koordinatengeometrie.

Die Gleichung

beschreibt einen Kreis mit dem Radius r und dem Mittelpunkt im Koordinatenursprung.

Analog dazu ist ebenfalls ein Kreis, dessen Mittelpunkt im Koordinatenursprung liegt und der den Radius r=2 hat.

Und beschreibt den Kreis und dessen Inneres.

Horrorgeschichten zur Koordinatengeometrie:

Geradengleichung:

Kreisgleichung:

Wo liegen nun auf der komplexen Zahlenebene jene komplexen Zahlen, für die gilt:

Wir verwenden die algebraische Form, das heißt, statt z schreiben wir überall

Die Ungleichung beschreibt die Punkte auf einer Seite der Geraden.

Sehen wir mal, um welche Seite es sich handelt.

Es empfiehlt sich, mit a=0 und b=0 zu experimentieren.

Das scheint zu stimmen, also muss dies die gesuchte Seite sein.

Jetzt sehen wir uns mal Folgendes an:

Diese Ungleichung beschreibt die Punkte auf einer Seite der Kreislinie.

Entweder die Innenseite oder die Außenseite des Kreises.

Auch hier ist es sinnvoll, mit a=0 und b=0 zu experimentieren.

Es scheint also, dass die gesuchten Punkte außerhalb des Kreises liegen.

Und da die Gleichheit ausgeschlossen ist,

ist die Kreislinie nicht in der gesuchten Menge enthalten.

Sehen wir uns zum Schluss noch das hier an:

Die quadratische Ergänzung ist hier ganz hilfreich.