Beschränktheit von Folgen, Infimum und Supremum

Hier ist diese Folge, über die wir jetzt ein paar Dinge in Erfahrung bringen wollen.

Beginnen wir mit der Monotonie.

Das ist streng monoton fallend …

und strebt gegen null.

Somit ist die gesamte Folge streng monoton fallend.

Und der Grenzwert liegt bei 2.

Jetzt wo wir all dies wissen, malen wir ein Bild davon.

Die Folge fällt…

Und nähert sich 2 an.

Diese Zahl ist die Untergrenze oder das Infimum der Folge.

Die Obergrenze oder das Supremum ist das erste Glied der Folge.

Hier ist eine weitere Folge. Untersuchen wir sie auf Monotonie und Beschränktheit.

Beginnen wir mit der Monotonie.

Das ist streng monoton fallend …

und strebt gegen null.

Das Minuszeichen kehrt jedoch alles um:

Aus dem Fallen wird ein Steigen.

Somit ist die gesamte Folge streng monoton steigend.

Und der Grenzwert liegt bei 3.

Schauen wir uns jetzt die Beschränktheit an.

Es gibt natürlich auch spannendere Folgen.

Untersuchen wir Monotonie und Beschränktheit.

Beginnen wir mit der Monotonie.

Dieses (–1)n ist kein gutes Omen für die Monotonie.

Und das ist der Grund:

Deshalb müssen wir die Monotonieuntersuchung in solchen Fällen ganz anders angehen.

Als Erstes berechnen wir den Grenzwert.

wenn n gerade ist

wenn n ungerade ist

Ungerade

Gerade

Dann machen wir ein Bild.

Und tragen die ersten beiden Glieder auf.

Mal sehen, was wir daraus folgern können.

Die Folge ist nicht monoton, denn die aus ungeraden Gliedern bestehende Teilfolge ist steigend …

und der aus geraden Gliedern bestehende Teil ist fallend.

Und hier kommt der nächste Fall:

Auch das sieht nicht monoton aus, also beginnen wir wieder mit dem Grenzwert.

Dann machen wir ein Bild.

Und tragen die ersten beiden Glieder auf.

Die Folge ist nicht monoton, denn die aus ungeraden Gliedern bestehende Teilfolge ist fallend …

und der aus geraden Gliedern bestehende Teil ist steigend.