Divergente Folgen

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Divergente Folgen

Wir werden gleich weitere großartige Folgen kennenlernen. Die konvergenten Folgen kennen wir schon:

Die Folge ist konvergent und ihr Grenzwert ist die Zahl A, wenn wir für beliebig kleine einen Index finden können, ab dem der Abstand jedes nachfolgenden Glieds zur Zahl A kleiner als ist.

Die Folge an ist konvergent und hat den Grenzwert A, wenn es zu jedem > 0 einen Schwellenindex n0 gibt, sodass

........ für jedes .....

Jetzt kommen die divergenten Folgen.

Diese Folge ist zum Beispiel deshalb divergent, weil sie gegen unendlich strebt.

Die Folge wächst unweigerlich über jede Zahl hinaus, ihre Glieder streben unaufhaltsam in Richtung unendlich.

Die Folge ist divergent und ihr Grenzwert ist plus unendlich, wenn es zu jeder Zahl M > 0 einen Schwellenindex n0 gibt, sodass

Es gibt auch Folgen, die deshalb divergent sind, weil sie gegen minus unendlich streben.

Die Folge ist divergent und ihr Grenzwert ist minus unendlich, wenn es zu jeder Zahl M < 0 einen Schwellenindex n0 gibt, sodass

Und schließlich gibt es auch divergente Folgen, die nirgendwohin streben. Eine solche unentschlossene Folge ist zum Beispiel diese hier:

Die Folge ist alternierend divergent, wenn sie keinen Grenzwert hat, also weder gegen eine reelle Zahl noch gegen plus oder minus unendlich strebt.

Hier ist das gesamte Menü:

Konvergente Folgen

Divergente Folgen

Hat Grenzwert

Hat keinen Grenzwert

KONVERGENT

DIVERGENT

sehova = nirgendwohin

Sehen wir uns an, was diese Folge so treibt:

Anscheinend ist sie divergent und strebt gegen plus unendlich.

Das heißt, zu jedem M > 0 gibt es ein n0, sodass

Wenn zum Beispiel , dann

und somit

Das bedeutet, dass ab dem 14696. Glied alle Glieder der Folge größer als 600 sind.

Wenn dieses M 800 statt 600 beträgt ...

dann dauert es zwar bis zu einem späteren Glied, aber die Folge wächst auch über 800 hinaus.

Jetzt kommt noch eine lustige Folge. Versuchen wir für das dazugehörige zu bestimmen.

wenn n gerade ist

wenn n ungerade ist

Die Folge ist divergent.

Und somit gibt es für kein .

 

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