Sehen wir uns die ähnlichen Matrizen an!

Drei Matrizen entstammen derselben Abbildung und sind nur in verschiedenen Basen dargestellt, die vierte Matrix hingegen ist unterschiedlich.

Wenn eine symmetrische -Matrix ist und ein Vektor in , dann wird der Ausdruck

quadratische Form genannt.

Diese quadratischen Formen sind sehr umgängliche Geschöpfe. Sehen wir uns gleich ein Beispiel dazu an.

Nehmen wir zum Beispiel

und

Die dazugehörige quadratische Form ist

Rechnen wir das aus. Wir müssen multiplizieren, und wir beginnen von hinten.

Jetzt multiplizieren wir noch diese beiden.

Dann lösen wir die Klammern auf.

Das ist die quadratische Form.

Quadratisch heißt sie deswegen, weil sie immer ein homogen-quadratischer Ausdruck ist. Dies bedeutet, dass die x-Werte entweder im Quadrat vorkommen, oder aber linear, aber multipliziert mit einem anderen linearen Glied, was wiederum als quadratisch gilt.

Sehen wir uns noch eine weitere quadratische Form an.

und

ist jetzt eine -Matrix, und somit hat auch der Vektor 3 Koordinaten.

Die Multiplikationen durchzuführen wäre aber eine ziemliche Quälerei, zumal wir jetzt eine -Matrix vor uns haben.

Zum Glück kennen wir einen Trick. Er ist eigentlich gar nicht so raffiniert.

Die quadratische Form sieht ungefähr so aus: Sie wird enthalten, dann noch und , und es wird auch gemischte Glieder geben.

Die Frage ist nur, wie viele es davon jeweils gibt. Die Antwort gibt uns die Matrix .

Und schon sind wir fertig.

Die Sache funktioniert auch andersherum: Wenn wir eine quadratische Form haben, können wir daraus ihre Matrix erzeugen.

Das passt auch schon:

Wir haben hier eine quadratische Form:

Wir wollen zwei Vektoren finden,

einen Vektor , für den

und einen Vektor , für den

Ein Vektor, für den die quadratische Form positiv ist, findet sich leicht.

Einen zu finden, für den sie negativ wird, ist schon schwieriger, aber nicht unmöglich.