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Berechnung des Doppelintegrals

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Bei Funktionen mit einer Variable geht es darum, einer reellen Zahl eine andere reelle Zahl zuzuordnen.

Der Graph der Funktion ist eine Linie.

Und ihr bestimmtes Integral von a bis b ist eine Fläche.

Bei Funktionen mit zwei Variablen geht es darum, zwei reellen Zahlen eine dritte reelle Zahl zuzuordnen.

Indem wir jedem Punkt des Definitionsbereichs diese dritte Koordinate (die Höhe) zuordnen, entsteht oberhalb der Ebene x,y eine Fläche: Das ist unsere Funktion.

Das bestimmte Integral einer Funktion mit zwei Variablen ist das Volumen eines Körpers.

Wir beginnen mit dem einfachsten Fall, der Integration eines rechteckigen Gebiets:

auf der x-Achse von a bis b und auf der y-Achse von c bis d.

Es spielt keine Rolle, ob wir beim Schreiben erst die y-Grenzen und dann die x-Grenzen angeben,

oder umgekehrt.

Wir müssen nur eines beachten: Das Doppelintegral hat eine „Zwiebelstruktur“. Es hat eine äußere und eine innere Schicht.

Wenn wir die Grenzen fĂĽr y voranstellen, kommt dy ans Ende.

Wir können selbstverständlich auch mit den Grenzen für x beginnen – dann kommt dx ans Ende.

Wenn wir zum Beispiel dieses Doppelintegral berechnen wollen, können die x-Grenzen vorn stehen …

aber genauso gut auch die y-Grenzen.

Die Berechnung erfolgt auf jeden Fall immer von innen nach außen. Wir kümmern uns zuerst um den inneren Teil – hier die Integration nach x.

Das Integrieren nach x geht so, dass wir die Terme mit x integrieren und y als Konstante betrachten.

x wird integriert und wird als konstanter Multiplikator betrachtet.

gilt ebenfalls als konstanter Multiplikator.

Nachdem das nun geschafft ist, setzen wir diese Zahlen ein.

Es ist aber nicht egal, ob wir sie fĂĽr x oder y einsetzen. Da wir nach x integriert haben, setzen wir sie fĂĽr x ein.

Das hätten wir – jetzt kommt die äußere Integration.

Diesmal nach y.

Zum Schluss wird eingesetzt.

Wir haben nach y integriert, also setzen wir fĂĽr y ein. Eine andere Wahl haben wir sowieso nicht.

Und schon sind wir fertig.

Jetzt wollen wir sehen, was passiert, wenn wir nicht über ein Rechteck, sondern zum Beispiel über ein Dreieck integrieren möchten.

Diese 3D-Darstellungen sind beeindruckend …

nur haben sie leider außer der schönen Optik keinen wirklichen Nutzen.

Ein Diagramm aus der Draufsicht bringt uns viel weiter.

Wir integrieren nach x von 0 bis 2.

Wenn auch die Integration nach y von 0 bis 2 geht, erhalten wir ein Rechteck …

Und das wollen wir ja eben nicht – wir möchten über das Dreieck integrieren.

Auf das Dreieck kommen wir, indem wir bei der Integration nach y 0 und als Grenzen einsetzen.

Und jetzt kommt die Integration.

Die Grenzen der äußeren Integration sollten niemals x oder y enthalten.

Zum Glück können wir die Reihenfolge jederzeit vertauschen.

Wir beginnen immer mit der inneren Integration.

Das ist hier die Integration nach y. y wird also integriert, und x wird als Konstante betrachtet.

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