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Die Polarkoordinatensubstitution

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Dank der Polarkoordinatensubstitution sind alle hässlichen Wurzelausdrücke verschwunden – geblieben ist die einfachste Integration aller Zeiten.

Besonders, wenn wir wissen, dass

Aber die Polarkoordinatensubstitution kann noch mehr.

Versuchen wir jetzt, dieselbe Funktion über einen Kreisring zu integrieren – d. h. einer Kreisfläche mit einem Loch in der Mitte.

Noch besser: Nehmen wir einen halben Kreisring.

Dank der Polarkoordinatensubstitution lassen sich diese auf den ersten Blick recht komplizierte Situationen erstaunlich einfach handhaben.

Wir mĂĽssen nur den Winkel angeben,

und den Radius.

Und das war’s auch.

Bei den Polarkoordinaten geht es darum, dass wir die Koordinaten x und y durch neue Koordinaten ersetzen.

In der Welt der Kreise, Kugeln und Zylinder tun wir uns nämlich mit den Ecken und Kanten des x/y-Koordinatensystems keinen Gefallen.

Es ist sinnvoller, auf ein Koordinatensystem zu setzen, das besser zu den Eigenschaften des Kreises passt.

Innerhalb eines Kreises sind die wichtigsten Merkmale der Abstand vom Mittelpunkt und der Drehwinkel.

Die eine Koordinate gibt deshalb an, wie weit wir vom Kreismittelpunkt entfernt sind; wir nennen sie r.

Die andere Koordinate ist ein Drehwinkel, genannt … Theta, das geschrieben so aussieht:

Die Beziehung zwischen alten und neuen Koordinaten ist wie folgt:

Wir erhalten alle Punkte eines Kreises mit dem Radius R, wenn den gesamten Kreis durchläuft,

von 0 bis …

während r das Intervall von 0 bis R durchläuft.

Einer der Vorteile der Polarkoordinatensubstitution liegt darin, dass sie die komplexen Integrationen über einen Kreis oder ein kreisförmiges Gebilde unglaublich vereinfacht.

Die Substitution erfolgt nach folgender Formel:

Und jetzt sehen wir uns einige konkrete Fälle an.

Integrieren wir die folgende Funktion ĂĽber das Gebiet :

Sehen wir uns das Gebiet einmal näher an.

Die bestimmte Integration von Konstanten ist sehr einfach:

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