Geschwindigkeitsvektor und Bogenlänge einer weiteren parametrischen Kurve

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Wenn wir die Bahn eines Raumschiffs oder den Weg eines Teilchens beschreiben wollen, bringen uns gewöhnliche Funktionen nicht weiter. Was wir in solchen Fällen brauchen, sind parametrische Kurven.

Nehmen wir zum Beispiel dieses Rad, das sich im Stand dreht.

Die Koordinaten eines sich darauf befindlichen Punktes:

Das wissen wir noch aus der Wespengeschichte von vorhin.

Das stimmt allerdings nur, wenn sich der Radmittelpunkt im Koordinatenursprung befindet.

Wenn das Rad auf der x-Achse steht …

müssen wir zur y-Koordinate R addieren.

Und es gibt noch ein kleines Problem.

Die Umdrehung des Rads beginnt jetzt bei –pi/2.

Vielleicht erinnern wir uns noch an diese schrecklichen Formeln:

Ebenfalls aus der vorherigen Geschichte wissen wir, dass in der Formel a der halben Umdrehungszeit entspricht.

Wenn das Rad zum Beispiel in 4 Sekunden eine volle Umdrehung macht, dann a=2.

Und jetzt sehen wir uns die Bewegung des Punktes auf dem Rad an.

Wir wissen bereits: Wenn sich das Rad nicht in positiver Richtung …

sondern in negativer Richtung dreht, müssen wir t mit –1 multiplizieren.

Wenn sich das Rad also in negativer Richtung dreht …

setzen wir t mit negativem Vorzeichen ein.

Und jetzt bringen wir etwas Spannung in die Geschichte.

Wir stoßen das Rad an, und dieses beginnt mit einer Geschwindigkeit von 4 m/s zu rollen.

Der Punkt auf dem Rad beschreibt eine ziemlich interessante Bahn.

Diese Kurve nennen wir eine Zykloide.

Die Zykloide unterscheidet sich insoweit von der Kurve in unserem vorherigen Fall, dass sich die x-Koordinate hier mit 4 m/s bewegt.

Wie sieht wohl die Gleichung der Zykloide aus?

Wir müssen an der Kurve von vorhin nur wenig verändern:

Die einzige Änderung ist, dass sich die x-Koordinate mit 4 m/s vorwärts bewegt.

Zum Schluss bleibt nur noch eine Frage.

Wie viel Zeit braucht das Rad für eine volle Umdrehung?

Nun, das ist die Zeit, in der der Mittelpunkt des Rades von hier nach hier gelangt.

Und diese Entfernung entspricht genau dem Umfang des Rads.

In der Formel entspricht a genau der Hälfte der Umdrehungszeit.

Das ist also die Gleichung der Zykloide.

Mit diesen wunderbaren Formeln können wir sie noch ein bisschen umformen:

Eine Sache noch.

Wir führen einen neuen Parameter ein:

Das ist also die Gleichung der Zykloide.

Parametrische Kurven helfen uns, Bewegungen wie zum Beispiel diese zu beschreiben.

Diese Kurve heißt Zykloide und wird durch die folgende Gleichung beschrieben:

Beim Zurücklegen eines Bogens verändert sich der Parameter von 0 zu 2pi.

Die Gleichung der Kurve beschreibt die aktuelle Position des Punktes auf der Kurve.

Sehen wir uns zum Beispiel diesen Zeitpunkt an:

Die Ableitung der Kurve gibt die Geschwindigkeit des Punktes an.

Durch Einsetzen eines beliebigen t erhalten wir den Geschwindigkeitsvektor des Punktes P für dieses t.

Die Gleichung der parametrischen Kurve beschreibt die aktuellen Koordinaten des Punktes auf der Kurve:

Die Ableitung der parametrischen Kurve beschreibt die aktuelle Geschwindigkeit des Punktes auf der Kurve:

Während das Rad rollt, verändert sich fortwährend die Geschwindigkeit des Punktes P.

Die Geschwindigkeit entlang der x-Achse wird durch x'(t) angegeben.

Diese Geschwindigkeit ist bei der Hälfte des Bogens maximal und beim Berühren des Bodens null.

Der Geschwindigkeitsvektor v(t) gibt für jeden Zeitpunkt Richtung und Betrag der Geschwindigkeit des Punktes P an.

Der Betrag der Geschwindigkeit entspricht der Länge des Geschwindigkeitsvektors:

Wenn wir wissen wollen, welchen Weg der Punkt P zwischen den Zeitpunkten t0 und t1 zurücklegt, müssen wir die Geschwindigkeit integrieren.

Durch Differenzieren der parametrischen Kurve erhalten wir den Geschwindigkeitsvektor v(t), der für jeden Zeitpunkt Richtung und Betrag der Geschwindigkeit des Punktes P angibt.

Sehen wir uns jetzt ein Beispiel dazu an.

Hier ist eine Kurve:

Geben wir den Geschwindigkeitsvektor an und berechnen wir die Bogenlänge der Kurve auf dem Intervall [0, pi].

 

Geschwindigkeitsvektor und Bogenlänge einer weiteren parametrischen Kurve

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