Und jetzt bringen wir ein bisschen Spannung in die Sache.

Berechnen wir zum Beispiel die Fläche zwischen den Funktionen f und g.

Unser Plan ist folgender:

Erst berechnen wir die Fläche unter der roten Funktion zwischen a und b,

dann die Fläche unter der gelben Funktion,

und schließlich ziehen wir die eine von der anderen ab.

Interessant sind auch die Werte von a und b.

Das Besondere an a und b ist, dass die beiden Funktionen an diesen Stellen den gleichen Wert haben.

Das ist also die Gleichung, die wir lösen müssen.

Bereiche wie dieser, dessen Fläche wir gerade berechnet haben, werden Normalbereiche genannt.

Normalbereiche sind von unten und von oben durch eine Funktion begrenzt,

und ihre Seiten sind x=a und x=b.

Die beiden Funktionen können auf einer Seite zusammentreffen,

oder auch auf beiden Seiten.

Die Fläche eines solchen Normalbereichs beträgt:

AREA = Fläche

bzw. wenn die Funktion g wie in unserer Abbildung oben ist,

dann umgekehrt.

Diese Methode hat den Vorteil, dass wir nur einmal integrieren müssen. Probieren wir es gleich aus.

Berechnen wir zum Beispiel die Fläche zwischen den Funktionen f und g.

Erst berechnen wir die Schnittpunkte,

dann folgt die Integration.

Hier ist eine Funktion,

an die wir in x=3 eine Tangente anlegen.

Dadurch entstehen zwei Bereiche.

Der eine ist durch die Funktion, die Tangente und die y-Achse begrenzt,

der andere durch die Funktion, die Tangente und die x-Achse.

Berechnen wir die Flächen dieser Bereiche.

Wie es aussieht, brauchen wir die Gleichung der Tangente.

Hier ist sie auch schon:

Und jetzt kommen wir zur Sache.

Der durch die y-Achse begrenzte Bereich ist viel einfacher zu berechnen.

Es handelt sich nämlich um einen Normalbereich, und somit müssen wir nur die Differenz der beiden Funktionen integrieren: