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Riemann-Integrierbarkeit, Integralfunktion

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Das i-te Rechteck ist so hoch, dass es gerade noch unter den Funktionsgraphen passt.

Diese Höhe entspricht im i-ten Intervall dem Minimum der Funktionswerte.

Wir sind aber etwas besser dran, wenn wir statt des Minimums das Infimum verwenden.

Die Fläche des Rechtecks ist Grundseite mal Höhe:

Wenn wir die Flächen all dieser Rechtecke addieren …

erhalten wir eine untere Näherung für die Fläche unterhalb der Kurve, die sogenannte Untersumme.

Jetzt wollen wir auch eine obere Näherung berechnen.

Die obere Näherung sieht so aus.

Hier ist die Höhe des i-ten Rechtecks im i-ten Intervall das Supremum der Funktionswerte.

Wenn wir die Flächen all dieser Rechtecke addieren, erhalten wir eine obere Näherung für die Fläche unterhalb der Kurve, die sogenannte Obersumme.

Mit zunehmend feiner Zerlegung nähern wir uns der Fläche unterhalb der Kurve von oben an.

Die auf dem Intervall [a,b] beschränkte Funktion f ist auf [a,b] Riemann-integrierbar, wenn es genau eine Zahl I gibt, für die bei jeder Zerlegung gilt:

Diese Zahl I wird als Riemannsches Integral der Funktion f bezeichnet:

Wir wollen sehen, ob diese Funktion Riemann-integrierbar ist:

Da jedes beliebig kurze Intervall eine rationale Zahl enthält,

ist

Und egal wie fein die Zerlegung ist, bleibt die Obersumme immer gleich.

Zugleich gibt es in jedem beliebig kurzen Intervall auch eine irrationale Zahl, deshalb

Somit bleibt auch die Untersumme immer gleich.

Das heiĂźt, es gibt unendlich viele Zahlen I, fĂĽr die

 

Riemann-Integrierbarkeit, Integralfunktion

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