Linear unabhängige und linear abhängige Vektoren

VEKTORRÄUME

Es wird Zeit, einige wichtige Begriffe zu klären.

Der erste und wichtigste Begriff ist der Vektorraum. Dabei handelt es sich im Grunde um eine Menge, die Vektoren mit bestimmten Eigenschaften enthält.

Wir definieren zwei Arten von Operationen (Verknüpfungen): die Addition und die Multiplikation mit einer Zahl.

Bei der Addition summieren wir Vektoren, während bei der Multiplikation ein Vektor mit einer Zahl multipliziert wird.

Diese Zahlen können reelle Zahlen sein, dann haben wir einen Vektorraum über den reellen Zahlen, es können aber auch komplexe Zahlen sein, und dann haben wir einen Vektorraum über den komplexen Zahlen.

Außer diesen beiden gibt es keine weiteren Operationen im Vektorraum. Es sind also weder die Multiplikation von Vektoren miteinander noch das Skalarprodukt oder das dyadische Produkt definiert.

In Bezug auf diese beiden Operationen müssen noch weitere Eigenschaften erfüllt werden, die als Vektorraum-Axiome bezeichnet werden. Um diese geht es jetzt.

Die nicht-leere Menge  ist ein Vektorraum über den reellen Zahlen, wenn

für die Menge  eine Addition genannte Verknüpfung definiert ist, die allen Vektoren  und  in der Menge  einen Vektor  zuordnet, der ebenfalls Teil der Menge  ist.

    1. Die Addition ist kommutativ: Für alle Vektoren ;  in  gilt:

    2. Die Addition ist assoziativ: Für alle Vektoren ; ;  in gilt:

    3. Es gibt ein neutrales Element (Nullvektor):  enthält einen Vektor , der mit jedem Vektor  in  so verknüpft werden kann, dass

    4. Es gibt ein inverses Element: Für jeden Vektor  in  existiert ein Vektor  in , für den gilt:

und es ist eine Verknüpfung namens Skalarmultiplikation (Skalierung) definiert, die jeder Kombination aus einem Vektor  in  und einer reellen Zahl einen Vektor  zuordnet, der ebenfalls Teil der Menge  ist.

    5. Die Skalierung ist assoziativ: Für jeden Vektor  in  und jeden Skalar ;  gilt

    6. Die Skalierung ist distributiv in Bezug auf die Vektoren: Für jeden Vektor ;  in  und jeden Skalar  gilt

    7. Die Skalierung ist distributiv in Bezug auf die Skalare; für jeden Vektor  in  und jeden Skalar ;  gilt:

    8. Die Skalierung hat das neutrale Element 1: Für jeden Vektor  in  und die reelle Zahl 1 gilt:

Den Vektorraum über den reellen Zahlen bezeichnen wir in der Regel als , wobei n für die Anzahl der Vektorkoordinaten steht.

Vektoren können in der Ebene mit zwei Koordinaten angegeben werden. Somit ist jede Ebene ein -Vektorraum.

Räumliche Vektoren haben drei Koordinaten, damit ist der dreidimensionale Raum ein -Vektorraum.

Es gibt natürlich auch Vektoren mit mehr als drei Koordinaten, aber ihre geometrischen Entsprechungen können wir uns in unserer jämmerlichen dreidimensionalen Welt schwer vorstellen.

Es lohnt sich jedoch zu wissen, dass Vektoren in der Ebene nicht zwingend nur zwei Koordinaten haben müssen.

Wir können sie auch mit drei oder sogar vier Koordinaten angeben – nur sind dann einige Koordinaten null. Die Anzahl der Koordinaten schafft also nur die Möglichkeit für neue Richtungen.

Dies führt uns zu zwei wichtigen Begriffen: Einer ist die Dimension und der andere ist der Untervektorraum.

Beim Untervektorraum geht es darum, dass wir nicht alle Koordinaten der Vektoren ausnutzen, während die Dimension die Höchstzahl der nutzbaren Koordinaten bezeichnet.

Zum Beispiel bilden in  die Vektoren, deren dritte Koordinate null ist, einen Untervektorraum, und zwar einen zweidimensionalen, da wir zwei Koordinaten nutzen.

All dies werden wir noch viel präziser und mathematischer ausdrücken können, sobald wir uns einige Schlüsselbegriffe erarbeitet haben.

Genau das wollen wir jetzt tun.

LINEAR UNABHÄNGIGE UND LINEAR ABHÄNGIGE VEKTOREN

Beginnen wir mit zwei spannenden Definitionen. Zuerst wollen wir sehen, worum es genau geht, und dann nehmen wir uns gleich einige Beispiele vor, die das Ganze verständlich machen.

Die Vektoren  sind linear unabhängig, wenn

nur dann erfüllt ist, wenn jeder

Die Vektoren  sind linear abhängig, wenn

auch dann erfüllt ist, wenn manche

Sehen wir uns dazu einige Beispiele an! Nehmen wir mal diese Vektoren:

LINEAR UNABHÄNGIGE UND LINEAR ABHÄNGIGE VEKTOREN

Beginnen wir mit zwei spannenden Definitionen. Zuerst wollen wir sehen, worum es genau geht, und dann nehmen wir uns gleich einige Beispiele vor, die das Ganze verständlich machen.

Die Vektoren  sind linear unabhängig, wenn

nur dann erfüllt ist, wenn jeder

Die Vektoren  sind linear abhängig, wenn

auch dann erfüllt ist, wenn manche

Sehen wir uns dazu einige Beispiele an! Nehmen wir mal diese Vektoren:

Überlegen wir, zu welcher Art diese Vektoren gehören, das heißt, wann erfüllt ist, dass

Wenn alle , dann erhalten wir natürlich den Nullvektor.

Interessanter ist es, dass für    

ebenfalls der Nullvektor herauskommt.

Das heißt, auch dann kann der Nullvektor herauskommen, wenn nicht alle  sind – in diesem Fall sind sogar alle verschieden von null. In solchen Fällen sagen wir, dass die Vektoren linear abhängig sind.

Die Erklärung dafür ist sehr einfach: Der dritte Vektor ist die Summe der ersten beiden.

Dies bedeutet, dass der dritte Vektor mit Hilfe der beiden anderen Vektoren erzeugt werden kann.

Nur so können wir den Nullvektor erhalten, ohne dass alle  sind. Diese Tatsache meinen wir, wenn wir sagen, dass Vektoren linear abhängig sind.

Es gibt auch Vektoren, die nicht linear abhängig sind.

Sehen wir uns genauer an, wie es sich mit ihnen verhält:

Wenn wir jeden Vektor mal null nehmen, erhalten wir wenig überraschend den Nullvektor.

Interessanter ist, dass wir diesmal in keinem anderen Fall den Nullvektor bekommen.

Wenn wir beispielsweise vom ersten Vektor nicht die Menge null nehmen, erhalten wir mit Sicherheit keinen Nullvektor.

Probieren wir es aus. Nehmen wir zum Beispiel 6 davon.

Die erste Koordinate des zweiten und des dritten Vektors ist null, sodass sie den Wert der ersten Koordinate nicht beeinflussen. Die erste Koordinate ist also immer 6, ganz gleich, wie viel wir vom zweiten und dritten Vektor nehmen.

Wenn wir also den Nullvektor herausbekommen wollen, müssen wir den ersten Vektor unbedingt mal null nehmen.

Jetzt kommen wir zum zweiten Vektor. Wenn wir ihn nicht mal null nehmen, bekommen wir Probleme mit der zweiten Koordinate.

Der erste und der dritte Vektor haben nämlich keinen Einfluss auf den Wert der zweiten Koordinate.

Mit dem dritten Vektor verhält es sich ähnlich. Diese Vektoren sind also linear unabhängig.

Wir erhalten nur dann den Nullvektor, wenn wir jeden Vektor mal null nehmen.

Wir können uns natürlich fragen, warum es denn so wichtig ist, wie der Nullvektor aus verschiedenen Vektoren erzeugt werden kann. Bald bekommen wir eine Antwort auf diese Frage. Schauen wir uns dazu die nächste Bildreihe an.

In einem Vektorraum V bilden die Vektoren  ein sogenanntes Erzeugendensystem, wenn jeder Vektor  im Vektorraum V in der Form  erzeugt werden kann.

Nehmen wir zum Beispiel den Vektorraum , das heißt den Raum im alltäglichen Sinn des Wortes.

In diesem Vektorraum bilden

ein Erzeugendensystem, denn mit ihrer Hilfe kann jeder Vektor erzeugt werden.

Probieren wir es aus. Nehmen wir zum Beispiel den Vektor

Dieser kann tatsächlich aus den Vektoren  erzeugt werden.

Jeder Vektor  kann erzeugt werden. Zum Beispiel:

Und hier ist er auch schon:

Wenn wir zu diesen Vektoren einen weiteren Vektor hinzunehmen, erhalten wir wieder ein Erzeugendensystem.

Nehmen wir zum Beispiel diesen hinzu:

Wenn wir den Vektor  bisher erzeugen konnten, dann können wir das immer noch:

Wir nehmen den neuen Vektor einfach mal null, und dann ist es, als wäre er gar nicht da.

Wenn wir allerdings aus dem ursprünglichen Erzeugendensystem einen Vektor wegnehmen, dann ist das System kein Erzeugendensystem mehr.

Versuchen wir doch mal, den Vektor  aus den verbleibenden zwei Vektoren zu erzeugen. Das wird nicht gehen.

Wir merken uns also: Wenn wir einem Erzeugendensystem weitere Vektoren hinzufügen, erhalten wir wieder ein Erzeugendensystem, wenn wir jedoch Vektoren entfernen, dann ist das nicht mehr so sicher.

Die Frage ist, wie viele Vektoren in  linear unabhängig sein können und wie viele Vektoren ein Erzeugendensystem bilden können. Die folgende supernützliche Tabelle schafft Klarheit.

Zahl der

Vektoren

Können so viele Vektoren in

 linear unabhängig sein?

Können so viele Vektoren in  ein Erzeugendensystem bilden?

1

2

3

4

5

Ein einzelner Vektor kann mit Sicherheit so angegeben werden, dass er linear unabhängig ist, für ein Erzeugendensystem reicht er aber nicht aus.

Allein kann er nur eine Gerade erzeugen.

Auch zwei Vektoren können so angegeben werden, dass sie linear unabhängig sind, aber auch sie bilden noch kein Erzeugendensystem.

Diese beiden Vektoren spannen eine Ebene auf.

Das heißt, sie erzeugen alle Vektoren innerhalb der Ebene – aber keine darüber hinaus.

Auch drei Vektoren können noch so angegeben werden, dass sie linear unabhängig sind, und wie wir zuvor gesehen haben, bilden sie auch ein Erzeugendensystem.

Diese drei Vektoren spannen den Raum auf.

Nehmen wir jetzt einen vierten Vektor hinzu.

Da die bisherigen drei Vektoren ein Erzeugendensystem bilden, können sie jeden beliebigen vierten Vektor erzeugen.

Dies bedeutet, dass die vier Vektoren jetzt nicht mehr linear unabhängig sind, aber immer noch ein Erzeugendensystem bilden.

Dasselbe gilt, wenn wir noch einen fünften Vektor hinzunehmen.

In können genau drei Vektoren so angeben werden, dass sie noch linear unabhängig sind, aber bereits ein Erzeugendensystem bilden.

Das linear unabhängige Erzeugendensystem nennen wir Basis.

Die Dimension des Vektorraums entspricht der Zahl der Elemente in der Basis. So kommen wir ganz wissenschaftlich zum Schluss, dass der Raum dreidimensional ist.

Wenn wir aus einem unabhängigen System einen oder mehrere Vektoren entfernen,

erhalten wir ein unabhängiges System

(wenn wir Vektoren hinzufügen, ist der Ausgang offen)

Wenn wir zu einem Erzeugendensystem einen oder mehrere Vektoren hinzufügen,

erhalten wir ein Erzeugendensystem

(wenn wir Vektoren entfernen, ist der Ausgang offen)

Gibt es in  n linear unabhängige Vektoren, dann bilden diese auch ein Erzeugendensystem

(da sie eine Basis sind)

Gibt es in  ein aus n Vektoren bestehendes Erzeugendensystem, dann sind diese Vektoren linear unabhängig

(da sie eine Basis sind)

Die Basis erzeugt alle Vektoren auf eindeutige Weise. Erzeugendensysteme hingegen, die in  aus mehr als n Vektoren bestehen, können jeden Vektor auf unendlich vielen Weisen erzeugen.

Vorhin haben wir uns mit der Frage befasst, was es bedeutet, wenn ein Vektorsystem linear unabhängig oder linear abhängig ist.

Dann haben wir uns mit Erzeugendensystemen beschäftigt.

Wir haben festgestellt, dass wir wieder ein Erzeugendensystem erhalten, wenn wir einem Erzeugendensystem einen oder mehrere Vektoren hinzufügen. Wenn wir dagegen Vektoren entfernen, wird unser System früher oder später kein Erzeugendensystem mehr sein.

Wir haben auch festgestellt, dass wir wieder ein linear unabhängiges System erhalten, wenn wir aus einem linear unabhängigen System einen oder mehrere Vektoren entfernen. Wenn wir hingegen Vektoren hinzufügen, werden die Vektoren früher oder später linear abhängig sein.

All dies können wir im Vektorraum , das heißt im Raum im alltäglichen Sinn des Wortes, anschaulich darstellen.

Wenn wir anfangen, einem linear unabhängigen System neue Vektoren hinzuzufügen, erhalten wir früher oder später ein linear abhängiges System.

Wenn wir aus einem Erzeugendensystem Vektoren entfernen, ist das System früher oder später kein Erzeugendensystem mehr.

Und es gibt einen magischen Punkt, an dem wir bereits genug Vektoren haben, um alle Vektoren zu erzeugen, aber noch nicht so viele, dass sie nicht mehr linear unabhängig sind.

Dieses linear unabhängige Erzeugendensystem nennen wir Basis.

Und die Elementanzahl der Basis ist die Dimension des Vektorraums.

Jetzt kommen wir zu einem weiteren wichtigen Begriff: dem Rang.

Der Rang eines Vektorsystems ist die Maximalanzahl der linear unabhängigen Vektoren, die es enthalten kann.

 kann zum Beispiel maximal drei unabhängige Vektoren haben.

Später werden wir ganz tolle Methoden zur Berechnung des Rangs haben, aber vorerst müssen wir uns mit der wenig definitiven Methode des Augenscheins begnügen.

Hier ist zum Beispiel dieses Vektorsystem:

Der vierte Vektor ist das Zweifache des ersten, also haben wir bestenfalls drei linear unabhängige Vektoren.

Und der dritte Vektor ist die Summe der ersten beiden, also bleiben nur noch zwei linear unabhängige Vektoren.

Diese sind tatsächlich linear unabhängig, also beträgt der Rang 2. Später werden wir uns eine wirklich großartige Technik zur Rangberechnung zulegen.

Der Rang eines Vektorsystems

Jetzt kommen wir zu einem weiteren wichtigen Begriff: dem Rang.

Der Rang eines Vektorsystems ist die Maximalanzahl der linear unabhängigen Vektoren, die es enthalten kann.

BASIS = LINEAR UNABHÄNGIGES ERZEUGENDENSYSTEM

Die Vektoren  sind linear unabhängig, wenn

nur dann erfüllt ist, wenn jeder

Die Vektoren  sind linear abhängig, wenn

auch dann erfüllt ist, wenn manche

Im Vektorraum V bilden die Vektoren  ein Erzeugendensystem,

wenn jeder Vektor  in der Form

 erzeugt werden kann.

Nehmen wir die Vektoren .

Welche der folgenden Aussagen trifft zu?

Wenn  linear unabhängig sind, dann sind

 ebenfalls linear unabhängig.

Schauen wir, ob  linear unabhängig sind.

Schreiben wir sie in einer Linearkombination auf:

Wenn dies nur erfüllt ist, wenn  allesamt null sind, dann sind die Vektoren linear unabhängig. Wenn es auch dann geht, wenn nicht alle Koeffizienten auf null gesetzt werden, dann sind die Vektoren linear abhängig.

Die Frage ist also, welchen Wert  haben.

Wir lösen die Klammern auf:

Dann zählen wir, wie viel Stück wir von ,  und  haben.

Da die ursprünglichen Vektoren linear unabhängig sind, sind alle Koeffizienten mit Sicherheit null, das heißt

Es scheint, dass  allesamt null sind, das heißt,  sind linear unabhängig.

Wenn  ein Erzeugendensystem ist,

dann ist  auch eines.

Die Vektoren  sind dann ein Erzeugendensystem,

wenn sie alle Vektoren  erzeugen:

Die Frage ist, ob diese  auch durch die Vektoren  erzeugt werden können. Probieren wir es aus.

Wir lösen die Klammern auf:

Dann zählen wir, wie viel Stück wir von ,  und  haben.

Es scheint, dass  tatsächlich erzeugt werden kann.

Wenn  linear unabhängig sind, dann sind

 ebenfalls linear unabhängig.

Das stimmt ganz sicher nicht, denn

Das heißt, sie haben eine Linearkombination, die den Nullvektor ergibt, obwohl wir keinen der Vektoren mal null genommen haben.

Wenn  linear unabhängig sind, dann sind

 ebenfalls linear unabhängig.

Schauen wir, ob  linear unabhängig sind.

Schreiben wir sie dazu in einer Linearkombination auf:

Wenn dies nur erfüllt ist, wenn  beide null sind, dann sind die Vektoren linear unabhängig. Wenn es auch dann geht, wenn einer nicht null ist, dann sind die Vektoren linear abhängig.

Die Frage ist also, welchen Wert  haben.

Wir lösen die Klammern auf:

Dann zählen wir, wie viel Stück wir von ,  und  haben.

Da die Vektoren  linear unabhängig sind, sind alle Koeffizienten mit Sicherheit null, das heißt  und . Das wiederum bedeutet, dass auch  linear unabhängig sind.

Wenn  linear unabhängig sind,

dann sind auch  linear unabhängig.

Diesmal gehen wir von der Linearkombination

aus.

Diesmal gehen wir von der Linearkombination

aus.

Das müssten wir irgendwie auf eine Linearkombination der Vektoren

zurückführen.

Manchmal hilft es, ein bisschen nachzudenken.

Nehmen wir zum Beispiel den Fall, dass  der Nullvektor ist.

Dann  und ; diese Vektoren sind linear unabhängig, aber  sind definitiv linear abhängig, denn einer von ihnen ist der Nullvektor.

Das sollten wir uns merken: Wenn ein Vektorsystem den Nullvektor enthält, dann ist das System in jedem Fall linear abhängig.

Wenn  ein Erzeugendensystem ist,

dann ist  auch eines.

Wenn  ein Erzeugendensystem ist, bedeutet dies, dass es alle Vektoren erzeugen kann.

Und da die Vektoren  die Vektoren  und  erzeugen können, ist es sicher, dass  ein Erzeugendensystem ist.

Aus den Vektoren  erzeugen wir zunächst die Vektoren  und , und da diese ein Erzeugendensystem bilden, können sie alle weiteren Vektoren erzeugen.

Wir merken uns: Wenn wir aus den Vektoren eines Vektorsystems ein Erzeugendensystem erzeugen können, dann sind die Vektoren für sich genommen schon ein Erzeugendensystem.

UNTERVEKTORRÄUME

 ist ein Untervektorraum (linearer Teilraum) von , wenn , und  selbst auch ein Vektorraum für die Operationen in  ist.

Ein Untervektorraum ist also eine Teilmenge des Vektorraums, der alle Eigenschaften des Vektorraums erfüllt. Es sind sowohl die Vektorraum-Axiome als auch die Operationen erfüllt.

Es gibt ein interessantes Theorem, mit dessen Hilfe wir leichter feststellen können, ob eine bestimmte Teilmenge tatsächlich ein Untervektorraum ist. Das Theorem besagt, dass es ausreicht, nur die Operationen zu überprüfen. Wenn sie funktionieren, wenn sie also nicht aus der Teilmenge herausführen, das genügt das, um zu wissen, dass es sich um einen Untervektorraum handelt.

 ist ein Untervektorraum von , wenn Operationen in  nicht aus  herausführen.

Das lässt sich so erklären: Wenn die Operationen nicht aus dem Teilraum herausführen, das heißt  und  auch in  enthalten sind, dann werden die Vektorraum-Axiome automatisch erfüllt.

Probieren wir es aus!

Das Kommutativgesetz, das Assoziativgesetz und das Distributivgesetz sind für alle Elemente des Vektorraums, also auch für die Elemente von , erfüllt. Sehen wir uns jetzt die restlichen Axiome an:

Es gibt in  ein neutrales Element.

Natürlich trifft das zu, denn  ist in  enthalten und

Es gibt in  ein inverses Element.

Auch das trifft zu, denn  ist in  enthalten und

Und schließlich ist  auch in  erfüllt, denn dies gilt ja für alle Elemente des gesamten Vektorraums.

Damit steht fest: Es genügt tatsächlich, nachzuweisen, dass die Operationen nicht aus der Teilmenge herausführen.

Sehen wir uns gleich einen solchen Fall an!

Untersuchen wir, ob  ein Untervektorraum von  ist, und wenn ja, geben wir eine Basis in  an.

Das Kommutativgesetz, das Assoziativgesetz und das Distributivgesetz sind für alle Elemente des Vektorraums, also auch für die Elemente von , erfüllt. Sehen wir uns jetzt die restlichen Axiome an:

Es gibt in  ein neutrales Element.

Natürlich trifft das zu, denn  ist in  enthalten und

Es gibt in  ein inverses Element.

Auch das trifft zu, denn  ist in  enthalten und

Und schließlich ist  auch in  erfüllt, denn dies gilt ja für alle Elemente des gesamten Vektorraums.

Damit steht fest: Es genügt tatsächlich, nachzuweisen, dass die Operationen nicht aus der Teilmenge herausführen.

Sehen wir uns gleich einen solchen Fall an!

Untersuchen wir, ob  ein Untervektorraum von  ist, und wenn ja, geben wir eine Basis in  an.

Damit steht fest: Es genügt tatsächlich, nachzuweisen, dass die Operationen nicht aus der Teilmenge herausführen.

Sehen wir uns gleich einen solchen Fall an!

Untersuchen wir, ob  ein Untervektorraum von  ist, und wenn ja, geben wir eine Basis in  an.

Aufgrund des vorhin untersuchten Theorems genügt es, nachzuweisen, dass die Operationen nicht aus der Teilmenge herausführen.

Beginnen wir mit der Addition.

Untersuchen wir, ob die Summe zweier Vektoren dieses Typs ebenfalls von diesem Typ ist.

Das ist ein Problem! Die Addition scheint aus  herauszuführen.

Somit ist  kein Untervektorraum.

Sehen wir uns einen weiteren Fall an.

Das ist ein Problem! Die Addition scheint aus  herauszuführen.

Somit ist  kein Untervektorraum.

Sehen wir uns einen weiteren Fall an.

Untersuchen wir, ob  ein Untervektorraum von  ist, und wenn ja, geben wir eine Basis in  an.

Auch hier genügt es, nachzuweisen, dass die Operationen nicht aus der Teilmenge herausführen.

Beginnen wir mit der Addition.

Untersuchen wir, ob die Summe zweier Vektoren dieses Typs ebenfalls von diesem Typ ist.

 hier ist         

Ihre Summe:

Da auch für die Summe das Verhältnis der Koordinaten erfüllt ist, führt die Addition nicht aus der Teilmenge heraus.

Sehen wir uns jetzt die Multiplikation mit  an.

Untersuchen wir, ob die Summe zweier Vektoren dieses Typs ebenfalls von diesem Typ ist.

 hier ist         

Ihre Summe:

Da auch für die Summe das Verhältnis der Koordinaten erfüllt ist, führt die Addition nicht aus der Teilmenge heraus.

Sehen wir uns jetzt die Multiplikation mit  an.

Auch dies scheint zu stimmen, somit ist  ein Untervektorraum.

Die Dimension ist die Anzahl der frei definierbaren Parameter.

Zwei Parameter sind frei definierbar. Der eine ist , dann ist  wegen  nicht mehr frei definierbar, und der andere ist , dann ist  wegen  nicht mehr frei definierbar.

Auch dies scheint zu stimmen, somit ist  ein Untervektorraum.

Die Dimension ist die Anzahl der frei definierbaren Parameter.

Zwei Parameter sind frei definierbar. Der eine ist , dann ist  wegen  nicht mehr frei definierbar, und der andere ist , dann ist  wegen  nicht mehr frei definierbar.

Die Dimension hat also den Wert 2, und die Basis erhalten wir, indem wir einen freien Parameter auf eins und die restlichen auf null setzen und auf diese Weise alle Möglichkeiten durchspielen.

Die Basis ist also:

Seien  Vektoren im Raum . Welche Aussagen sind richtig?

a) Wenn  linear unabhängig sind, dann sind  es auch.

b) Wenn  linear abhängig sind, dann sind  es auch.

c) Wenn  ein Erzeugendensystem sind, dann sind  es auch.

d) Wenn  linear unabhängig sind, dann sind  es auch.

a) Wenn  linear unabhängig sind,

dann sind auch  linear unabhängig.

Seien  Vektoren im Raum . Welche Aussagen sind richtig?

a) Wenn  linear unabhängig sind, dann sind  es auch.

b) Wenn  linear abhängig sind, dann sind  es auch.

c) Wenn  ein Erzeugendensystem sind, dann sind  es auch.

d) Wenn  linear unabhängig sind, dann sind  es auch.

a) Wenn  linear unabhängig sind,

dann sind auch  linear unabhängig.

Schreiben wir sie in einer Linearkombination auf:

Wenn dies nur erfüllt ist, wenn  allesamt null sind, dann sind die Vektoren linear unabhängig. Wenn es auch dann geht, wenn nicht alle Koeffizienten auf null gesetzt werden, dann sind die Vektoren linear abhängig.

Die Frage ist also, welchen Wert  haben.

Wir lösen die Klammern auf:

Dann zählen wir, wie viel Stück wir von ,  und  haben.

Da die Vektoren  linear unabhängig sind, sind alle Koeffizienten mit Sicherheit null, das heißt

Die Frage ist also, welchen Wert  haben.

Wir lösen die Klammern auf:

Dann zählen wir, wie viel Stück wir von ,  und  haben.

Da die Vektoren  linear unabhängig sind, sind alle Koeffizienten mit Sicherheit null, das heißt

 sind allesamt null, also sind unsere Vektoren linear unabhängig.

b) Wenn  linear abhängig sind,

dann sind auch  linear abhängig.

Überprüfen wir als Erstes, ob  linear unabhängig sind.

Schreiben wir sie in einer Linearkombination auf:

Wenn dies nur erfüllt ist, wenn  allesamt null sind,

dann sind die Vektoren linear unabhängig. Wenn es auch dann geht, wenn nicht alle Koeffizienten null sind, dann sind die Vektoren linear abhängig.

Die Frage ist also, welchen Wert  haben.

Wir lösen die Klammern auf:

Wenn dies nur erfüllt ist, wenn  allesamt null sind,

dann sind die Vektoren linear unabhängig. Wenn es auch dann geht, wenn nicht alle Koeffizienten null sind, dann sind die Vektoren linear abhängig.

Die Frage ist also, welchen Wert  haben.

Wir lösen die Klammern auf:

Dann zählen wir, wie viel Stück wir von ,  und  haben.

Da die Vektoren  linear unabhängig sind, sind alle Koeffizienten mit Sicherheit null, das heißt

Überprüfen wir als Erstes, ob  linear unabhängig sind.

Schreiben wir sie in einer Linearkombination auf:

Wenn dies nur erfüllt ist, wenn  allesamt null sind, dann sind die Vektoren linear unabhängig. Wenn es auch dann geht, wenn nicht alle Koeffizienten auf null gesetzt werden, dann sind die Vektoren linear abhängig.

Die Frage ist also, welchen Wert  haben.

Wir lösen die Klammern auf:

Dann zählen wir, wie viel Stück wir von ,  und  haben.

Wenn dies nur erfüllt ist, wenn  allesamt null sind, dann sind die Vektoren linear unabhängig. Wenn es auch dann geht, wenn nicht alle Koeffizienten auf null gesetzt werden, dann sind die Vektoren linear abhängig.

Die Frage ist also, welchen Wert  haben.

Wir lösen die Klammern auf:

Dann zählen wir, wie viel Stück wir von ,  und  haben.

Da die Vektoren  linear unabhängig sind, sind alle Koeffizienten mit Sicherheit null, das heißt

Untersuchen wir, ob  ein Untervektorraum von  ist. Wenn ja, geben wir seine Dimension und eine Basis an.

Es genügt, nachzuweisen, dass die Operationen nicht aus der Teilmenge herausführen.

Beginnen wir mit der Addition.

Wir müssen bestimmen, ob die Summe zweier Vektoren dieses Typs ebenfalls von diesem Typ ist.

wir tauschen

Da auch für die Summe das Verhältnis der Koordinaten erfüllt ist, führt die Addition nicht aus der Teilmenge heraus.

Es genügt, nachzuweisen, dass die Operationen nicht aus der Teilmenge herausführen.

Beginnen wir mit der Addition.

Wir müssen bestimmen, ob die Summe zweier Vektoren dieses Typs ebenfalls von diesem Typ ist.

wir tauschen

Da auch für die Summe das Verhältnis der Koordinaten erfüllt ist, führt die Addition nicht aus der Teilmenge heraus.

Sehen wir uns jetzt die Multiplikation mit  an.

Auch dies scheint zu stimmen, somit ist  ein Untervektorraum.

Die Dimension entspricht der Anzahl der frei definierbaren Parameter.

Hier gibt es zwei freie Parameter,  und  

Die Dimension hat also den Wert 2, und die Basis erhalten wir, indem wir einen freien Parameter auf eins und die restlichen auf null setzen und auf diese Weise alle Möglichkeiten durchspielen.

Die Basis ist also: