Diesmal gehen wir von der Linearkombination

aus.

Das müssten wir irgendwie auf eine Linearkombination der Vektoren

zurückführen.

Manchmal hilft es, ein bisschen nachzudenken.

Nehmen wir zum Beispiel den Fall, dass der Nullvektor ist.

Dann und ; diese Vektoren sind linear unabhängig, aber sind definitiv linear abhängig, denn einer von ihnen ist der Nullvektor.

Das sollten wir uns merken: Wenn ein Vektorsystem den Nullvektor enthält, dann ist das System in jedem Fall linear abhängig.

Wenn ein Erzeugendensystem ist,

dann ist auch eines.

Wenn ein Erzeugendensystem ist, bedeutet dies, dass es alle Vektoren erzeugen kann.

Und da die Vektoren die Vektoren und erzeugen können, ist es sicher, dass ein Erzeugendensystem ist.

Aus den Vektoren erzeugen wir zunächst die Vektoren und , und da diese ein Erzeugendensystem bilden, können sie alle weiteren Vektoren erzeugen.

Wir merken uns: Wenn wir aus den Vektoren eines Vektorsystems ein Erzeugendensystem erzeugen können, dann sind die Vektoren für sich genommen schon ein Erzeugendensystem.

UNTERVEKTORRÄUME

ist ein Untervektorraum (linearer Teilraum) von , wenn , und selbst auch ein Vektorraum für die Operationen in ist.

Ein Untervektorraum ist also eine Teilmenge des Vektorraums, der alle Eigenschaften des Vektorraums erfüllt. Es sind sowohl die Vektorraum-Axiome als auch die Operationen erfüllt.

Es gibt ein interessantes Theorem, mit dessen Hilfe wir leichter feststellen können, ob eine bestimmte Teilmenge tatsächlich ein Untervektorraum ist. Das Theorem besagt, dass es ausreicht, nur die Operationen zu überprüfen. Wenn sie funktionieren, wenn sie also nicht aus der Teilmenge herausführen, das genügt das, um zu wissen, dass es sich um einen Untervektorraum handelt.

ist ein Untervektorraum von , wenn Operationen in nicht aus herausführen.

Das lässt sich so erklären: Wenn die Operationen nicht aus dem Teilraum herausführen, das heißt und auch in enthalten sind, dann werden die Vektorraum-Axiome automatisch erfüllt.

Probieren wir es aus!

Das Kommutativgesetz, das Assoziativgesetz und das Distributivgesetz sind für alle Elemente des Vektorraums, also auch für die Elemente von , erfüllt. Sehen wir uns jetzt die restlichen Axiome an:

Es gibt in ein neutrales Element.

Natürlich trifft das zu, denn ist in enthalten und

Es gibt in ein inverses Element.

Auch das trifft zu, denn ist in enthalten und

Und schließlich ist auch in erfüllt, denn dies gilt ja für alle Elemente des gesamten Vektorraums.

Damit steht fest: Es genügt tatsächlich, nachzuweisen, dass die Operationen nicht aus der Teilmenge herausführen.

Sehen wir uns gleich einen solchen Fall an!

Untersuchen wir, ob ein Untervektorraum von ist, und wenn ja, geben wir eine Basis in an.