Dann setzen wir für y die Grenzen ein.

Und das Ergebnis integrieren wir nach x.

Die Fortsetzung wird noch spannender …

Mithilfe der Doppelintegrale können wir das Volumen unter verschiedenen Flächen berechnen.

Der einfachste Fall ist die Integration über ein Rechteck. Die Integrationsgrenzen sind dann konkrete Zahlen.

Die Reihenfolge kann vertauscht werden: Es ist egal, ob wir erst die x-Grenzen und dann die y-Grenzen angeben oder umgekehrt.

Spannender wird es dann, wenn wir nicht über ein Rechteck integrieren wollen, sondern zum Beispiel über dieses dreieckige Gebiet.

In einem solchen Fall schafft ein Bild aus der Draufsicht Klarheit.

Die Grenzen für x sind in unserem Diagramm 0 und 2.

Die Grenzen für y sind jedoch nicht 0 und 2, denn das würde ein Rechteck ergeben …

Um ein Dreieck zu erhalten, müssen für y die Grenzen 0 und gesetzt werden.

Die y-Grenze ist also eine Funktion.

In unserem Fall ist nur die obere Grenze eine Funktion, aber es spricht nichts dagegen, auch für die untere Grenze eine Funktion zu verwenden.

Zum Beispiel .

Integrieren wir auf diesem Gebiet beispielsweise die Funktion

Wir beginnen immer mit der inneren Integration.

Wir integrieren also zuerst nach y.

x wird hier als Konstante betrachtet.

Und jetzt folgt die Integration nach x.

Aber erst fassen wir ein wenig zusammen.

Das war jetzt gar nicht so wenig …

Puh, das war alles andere als angenehm.

Hoffentlich ist die nächste Aufgabe etwas einfacher …

Integrieren wir die Funktion über das Gebiet D.

Manchmal lässt sich die Berandungsfunktion nur durch y beschreiben.

Nehmen wir zum Beispiel dieses Gebiet.

Wir könnten zwar versuchen, die Berandungsfunktion nach y aufzulösen, aber das lohnt die Mühe nicht.

Wir würden uns nur eine Menge unnötige Arbeit einhandeln:

Wir bleiben also lieber bei der ursprünglichen Funktion und nehmen in Kauf, dass diesmal die y-Grenzen konkrete Zahlen sind.