Wenn eine implizite Funktion mit n Variablen ist, dann lautet die Ableitung der impliziten Funktion nach der Variable :

Sehen wir uns dazu ein Beispiel an.

Dies ist eine implizite Funktion mit zwei Variablen.

Sie enthält zwar drei Buchstaben, x, y und z, aber wegen der Gleichheitsbedingung können nur zwei von ihnen frei gewählt werden.

Bei bivariaten Funktionen sind normalerweise x und y die Variablen, wir können diese Funktion also wie folgt auffassen:

z = soundso viel x und y

Differenzieren wir also nach x und y:

GAZDASÁGI

KÉT HELYEN: CAX2vari04BGF

ÉS CAX2vari18

In einer Fabrik werden zwei Arten von Produkten hergestellt. Wenn A für €x und B für €y verkauft wird, dann kann preisabhängig vom Produkt A die Menge

und vom Produkt B die Menge

pro Woche abgesetzt werden (Angabe jeweils in 1000 Stück).

Bei welchen Verkaufspreisen wird der höchste Gewinn erzielt, wenn die Herstellungskosten von A €2/Stück und von B €1/Stück betragen?

Das wird auf jeden Fall spannend …

Wir erstellen eine Tabelle.

Produkt Absatzmenge Preis Kosten/Stück

Der Plan ist wie folgt.

Erst berechnen wir den Stückgewinn. Der Stückgewinn ist der Gewinn, den wir beim Verkauf einer Produkteinheit erzielen. Bei einem Preis von €5 und Kosten von €2/Stück zum Beispiel beträgt der Stückgewinn 5–2=3 Euro.

Um den Gesamtgewinn zu erhalten, multiplizieren wir den Stückgewinn mit der abgesetzten Menge.

Wenn zum Beispiel der Stückgewinn 3 Euro beträgt und wir 100 Stück verkaufen, beträgt unser Gesamtgewinn 300 Euro.

Die separaten Gewinnbeträge von Produkt A und Produkt B werden dann addiert.

Perfekt.

Das ist die Funktion, deren Maximum wir suchen – wir müssen sie also ableiten.

Aber zuerst räumen wir etwas auf.

A müssen wir also zum Preis von x=7 und B zum Preis von y=4 Euro verkaufen.