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Eine wichtige Regel – T2

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T2

Sehen wir uns ein Beispiel an.

Wir differenzieren

Nächste Aufgabe:

Manchmal ist der Zähler nicht ganz identisch mit der Ableitung des Nenners, aber fast.

In einem solchen Fall holen wir uns die benötigte Eingebung durch Differenzieren des Nenners. Wir vergleichen das Ergebnis mit dem Zähler, und schon wissen wir, was uns zum Erfolg fehlt.

Der Zähler enthält nur x, aber wir brauchen 4x.

Wir multiplizieren den Zähler mit 4 und teilen dafür vor dem Integralzeichen durch 4.

Zu wenig x im Zähler ist nur eines der möglichen Probleme – zu viel davon ist genauso schlecht.

Die Ableitung des Nenners ist , aber der Zähler enthält , was zu viel des Guten ist. Deshalb klammern wir den Multiplikator 3 aus.

Und dann gibt es noch die ganz vertrackten Fälle.

Es gibt noch andere interessante Fälle.

INTEGRATION DURCH SUBSTITUTION

Bei der Integration durch Substitution geht es darum, einen Ausdruck durch u zu ersetzen, in der Hoffnung, dass wir dann die Aufgabe lösen können.

Sehen wir uns ein Beispiel an.

In solchen Fällen empfiehlt es sich, den gesamten Wurzelausdruck in u umzubenennen.

NÜTZLICHE SUBSTITUTIONEN

Alles gut soweit. Jetzt lösen wir nach x auf.

Das können wir dann hoffentlich hier einsetzen.

Aber einen Haken gibt es leider doch:

Wir müssen auch dx ersetzen, und zwar wie folgt.

Das aufgelöste x leiten wir nach u ab.

Sollte jemand jetzt verwundert schauen – keine Sorge, ich kann alles erklären.

Die Sache ist, dass vor ganz langer Zeit die Menschen noch nicht die bekannte f'-Notation für die Ableitung nutzten. Stattdessen schrieben sie

Manche Leute nutzen diese Schreibweise noch heute.

Später wurden die Bezeichnungen vereinfacht, aber aus einem rätselhaften Grund

hat man die alte Schreibweise bei der Integration durch Substitution beibehalten.

Finden wir uns also damit ab, dass die Ableitung des aufgelösten x nicht wie üblich

ist, sondern

Hoffentlich wird das niemandem schlaflose Nächte bereiten.

Und jetzt kommt die Substitution.

Fertig.

Sehen wir uns noch eine ähnliche Aufgabe an.

Die Substitutionsregel kann auch bei ganz unhandlichen Kettenfunktionen nützlich sein.

In solchen Fällen nennen wir meist die innere Funktion in u um.

Jetzt kommt eine partielle Integration.

Und gleich noch eine ähnliche Aufgabe.

Erst müssen wir nach x auflösen.

Ein kleiner Trick hilft uns dabei.

Wir kennen die Formel

und das war’s auch schon.

Jetzt müssen wir nur noch nach u ableiten.

Jetzt kommt die Substitution.

Dann wird integriert. Die Ableitung des Nenners

ist nichts anderes als der Zähler.

Natürlich gibt es bei der Substitution auch heiklere Fälle.

Welche das sind, sehen wir gleich in der nächsten Bilderreihe – die allerdings nichts für schwache Nerven ist!

Die Integration durch Substitution funktioniert so, dass wir einen Ausdruck durch u ersetzen, in der Hoffnung, dass wir dann die Aufgabe lösen können.

Bisher haben wir ein paar einfachere Substitutionen gesehen. Jetzt kommen die schwierigeren Fälle. Wir beginnen mit Wurzelausdrücken.

Wenn der Ausdruck unter der Wurzel linear ist, haben wir Glück gehabt. Dann ersetzen wir den Wurzelausdruck als Ganzes.

Anders sieht es aus, wenn der Ausdruck unter der Wurzel nicht linear ist.

Dann können andere Methoden als die Substitution sinnvoller sein.

Dass zum Beispiel die Ableitung des Wurzelausdrucks 1 – x4 mit dem Zähler fast identisch ist, sollte uns zu denken geben.

Wir verzichten daher auf die Substitution und

nutzen eine Methode, die wir S2 nennen.

Aber wenn im Zähler nicht x3, sondern x2 steht,

dann funktioniert diese Methode nicht.

In unserer Verzweiflung kehren wir doch zur Substitution zurück.

Aus diesem Menü können wir wählen.

Jetzt brauchen wir das hier.

Mal sehen, was wir daraus machen können.

Jetzt differenzieren wir x.

Erst differenzieren wir die äußere Funktion,

und dann die innere Funktion.

Bisher sieht das nicht allzu vielversprechend aus. Schauen wir uns noch die Substitution an.

Jetzt kommen wir zum Kern der Sache.

Wir tun uns die ganze Substitutionsgeschichte nur an, weil

und damit sind wir die Wurzel los.

Dass wir auch noch vereinfachen können, ist pures Glück.

Zum Schluss stellt sich heraus, dass das die leichteste Integration unseres Lebens war.

Wir müssen nur noch u durch den ursprünglichen Ausdruck ersetzen.

Was war dieser Ausdruck noch mal?

Jetzt erweitern wir auf beiden Seiten mit Arkussinus.

Das ist der Kehrwert des Sinus, und somit gilt

Sehen wir uns jetzt noch einen spannenden Fall an.

Wir nutzen die Gelegenheit, die Wurzel loszuwerden.

Jetzt wäre langsam eine Integration fällig.

Aber dazu brauchen wir noch einen kleinen Trick.

Noch immer gilt

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