Differenzierbarkeit und Tangentengleichung

Inhalt des Themas


Die Tangentengleichung

Hier ist diese Funktion:

Wir suchen die Gleichung der Tangente im Punkt .

Hier ist auch schon die Tangente:

Es wird Zeit für etwas Spannenderes.

Wir suchen die Gleichung der Tangente, die die Funktion  im Punkt  berührt.

Hier ist die Tangente:

Wir suchen die Gleichung der Tangente, die die Funktion  in einem Punkt mit einer negativen x-Koordinate und der y-Koordinate 24 berührt.

Was könnte jetzt noch kommen?

Wir suchen die Gleichung der Tangente, die die Funktion  berührt und zur Geraden  parallel ist.

Die Ableitung einer Funktion gibt die Steigung der Tangente an, die an den Funktionsgraphen angelegt werden kann.

Zwei Geraden sind dann parallel, wenn ihre Steigung gleich ist.

Die Steigung der Tangente ist die Ableitung.

Die Steigung dieser anderen Geraden wiederum beträgt –27.

Wir suchen die Gleichung der Tangente, die die Funktion  im Punkt  berührt.


Differenzierbarkeit von Funktionen

Die Ableitung einer Funktion gibt die Steigung der Tangente an, die an den Funktionsgraphen angelegt werden kann.

Mit diesem Wissen wollen wir jetzt die Ableitung dieser Funktion in  berechnen.

Hier ist sie:

Die Ableitung der Funktion im Punkt  ist also 9. Bezeichnung:

Berechnen wir die Ableitung der Funktion  im Punkt .

Und jetzt noch die Ableitung im Punkt :

Wir haben hier eine wunderbare Funktion, und wir wollen herausfinden, ob sie im Punkt  differenzierbar ist.

 ha = wenn

Ein Blick auf den Graphen verrät, dass die Funktion in Wirklichkeit aus zwei Funktionen zusammengeflickt ist, die sich genau im Punkt  treffen.

Das alleine wäre noch kein Problem, aber eine der beiden Funktionen hat eine andere Steigung im Punkt  als die andere.

Zu diesem Punkt können wir deshalb keine Tangente ziehen – sie wackelt hin und her.

Und wenn es keine Tangente gibt, ist die Funktion an dieser Stelle nicht differenzierbar.

Jetzt wollen wir sehen, wie das beim Lösen der Aufgabe zu erkennen ist.

In einem solchen Fall müssen wir zwei Dinge prüfen.

Erstens muss die Funktion stetig sein.

Eine identische Steigung der beiden Teilfunktionen im Punkt  bringt nämlich nichts, wenn die Funktion nicht stetig ist …

Wir können hier keine Tangente ziehen, und die Funktion ist somit nicht differenzierbar.

ÜBERPRÜFUNG AUF STETIGKEIT

Wir berechnen den Grenzwert …

und den Funktionswert.

LINKS- UND RECHTSSEITIGE ABLEITUNG

Die linksseitige Ableitung ist – welch Überraschung – die Ableitung der linken Funktion.

Und die rechtsseitige Ableitung ist die Ableitung der rechten Funktion.


Differenzierbarkeit und Stetigkeit, beidseitige Ableitung

Zu diesem Punkt können wir deshalb keine Tangente ziehen – sie wackelt hin und her.

Und wenn es keine Tangente gibt, ist die Funktion an dieser Stelle nicht differenzierbar.

Jetzt wollen wir sehen, wie das beim Lösen der Aufgabe zu erkennen ist.

In einem solchen Fall müssen wir zwei Dinge prüfen.

Erstens muss die Funktion stetig sein.

Eine identische Steigung der beiden Teilfunktionen im Punkt  bringt nämlich nichts, wenn die Funktion nicht stetig ist …

Wir können hier keine Tangente ziehen, und die Funktion ist somit nicht differenzierbar.

ÜBERPRÜFUNG AUF STETIGKEIT

Wir berechnen den Grenzwert …

und den Funktionswert.

LINKS- UND RECHTSSEITIGE ABLEITUNG

Die linksseitige Ableitung ist – welch Überraschung – die Ableitung der linken Funktion.

Und die rechtsseitige Ableitung ist die Ableitung der rechten Funktion.

Die beiden sind anscheinend nicht gleich …

Die Funktion ist somit in diesem Punkt nicht differenzierbar.

Hier ist eine weitere Funktion.

Wir wollen sehen, ob sie im Punkt  differenzierbar ist.

Die Funktion scheint im Punkt  nicht stetig zu sein, und somit ist sie auch nicht differenzierbar.

Das ist zwar traurig, aber wir schauen uns gleich noch eine Funktion an, vielleicht haben wir damit mehr Glück.


Differenzierbarkeitsuntersuchung | Aufgaben mit Parametern

Die Funktion scheint im Punkt  nicht stetig zu sein, und somit ist sie auch nicht differenzierbar.

Das ist zwar traurig, aber wir schauen uns gleich noch eine Funktion an, vielleicht haben wir damit mehr Glück.

Ist diese Funktion im Punkt  differenzierbar?

Großartig – diese Funktion kann tatsächlich im Punkt  differenziert werden.

Der Nervenkitzel geht weiter. Versuchen wir herauszufinden, für welchen Parameter A diese Funktion im Punkt  differenzierbar ist.

Im Punkt  ist leider keine Ableitung möglich.

Neuer Versuch. Lassen sich die Parameter A und B so wählen, dass diese Funktion im Punkt  differenzierbar ist?

Geometrisch betrachtet entspricht die Ableitung der Steigung der Tangente, die an den Graphen der Funktion angelegt wird.

Die Gleichung der Tangente:

Sehen wir uns dazu ein Beispiel an.

Hier ist diese Funktion:

Wir suchen die Gleichung der Tangente im Punkt .

Hier ist auch schon die Tangente:

Es wird Zeit für etwas Spannenderes.