Differenzieren

Hier ist eine Funktion.

Wenn wir an einigen Punkten eine Tangente einzeichnen,

dann erkennen wir: Wo die Tangente nach oben weist, ist die Funktion steigend,

und wo die Tangente nach unten weist, ist die Funktion fallend.

Und wo die Tangente waagerecht verläuft, hat die Funktion ein Minimum,

oder aber ein Maximum.

Die Tangente bewegt sich also gewissermaßen synchron zur Funktion, und wenn wir die Steigung der Tangenten einer Funktion berechnen, können wir sagen,

was die eigentliche Funktion macht.

Berechnen wir zum Beispiel die Steigung dieser Tangente.

Die Steigung sagt uns, wie viele Schritte es nach oben geht, wenn wir einen Schritt nach vorn machen.

Zur Berechnung der Steigung nehmen wir einen anderen Punkt zur Hilfe.

Erst berechnen wir die Steigung der Geraden,

die durch diese zwei Punkte verläuft.

Und so bekommen wir die Steigung dieser Geraden:

Strecke aufwärts

Strecke vorwärts

Diese Steigung ist der Differenzenquotient.

Die Steigung der Sekante ist

der Differenzenquotient:

Das ist wunderbar, aber eigentlich wollten wir die Steigung der Tangente berechnen.

Das bekommen wir auch noch heraus – und zwar, indem wir uns von vom Punkt  aus in Richtung  nähern. Dadurch kommen die Sekanten immer näher an die Tangente heran.

Die Tangentensteigung ist also der Grenzwert der Sekantensteigung.

Diesen Wert nennen wir den Differentialquotienten. Er ist die Ableitung.

Die Steigung der Tangente ist

der Differentialquotient:

Dieser ist im Punkt  die Ableitung.

Die Ableitung einer Funktion gibt also die Steigung der Tangente an, die an den Funktionsgraphen angelegt werden kann.

Die Ableitung der Funktion bezeichnen wir mit .

Sehen wir nun, zu welchen Funktionen welche Ableitungen gehören!

Die Ableitung von konstanten Funktionen ist Null.

ist zum Beispiel eine konstante Funktion, und

Die Ableitung von Potenzfunktionen ist

 hat zum Beispiel die Ableitung

Die Ableitung einer Wurzelfunktion geht genauso:

 und die Ableitung:

ist eine sichere Bank, denn ihre Ableitung ist sie selbst:  

Die Ableitung von  sieht nicht mehr so hübsch aus:

Und jetzt nehmen wir mal das hier:  

Die Ableitung davon ist nicht , denn x steht hier im Exponenten.

und dieses  ist eine konkrete Zahl, nämlich Logarithmus 5 zur Basis e. Aber keine Sorge, das können wir mit dem Taschenrechner ausrechnen:

Sieht super aus, aber vielleicht bleiben wir doch lieber bei .

Dann ist hier noch die Ableitung der bereits erwähnten :

Und die Ableitung der anderen Logarithmen lautet

Zum Beispiel . Das ist der Logarithmus zur Basis 10 (dekadischer Logarithmus oder auch Zehnerlogarithmus), daher a=10 und die Ableitung lautet

Und jetzt kommen die trigonometrischen Funktionen.

Die Ableitung des Sinus ist der Kosinus, und die Ableitung des Kosinus ist der negative Sinus.

Die Ableitung des Tangens

ist schon etwas komplizierter, vom Rest gar nicht zu reden.

Jetzt kommen wir zu den Ableitungsregeln.

Und jetzt noch die trickreichste Ableitungsregel: die Kettenregel für zusammengesetzte (verkettete) Funktionen.

Hier ist eine Funktion, die noch nicht verkettet ist.

Zu einer verketteten Funktion wird sie dann, wenn wir statt x zum Beispiel das einsetzen:

Jetzt haben wir eine verkettete Funktion, und die Kettenregel geht so: Erst leiten wir die äußere Funktion ab und erhalten

  [EB1] 

… und dann multiplizieren wir das mit der Ableitung der inneren Funktion.

Hier kommt schon das nächste Beispiel.

Das ist noch keine verkettete Funktion, sondern eine einfache Addition.

Aber wenn das ganze hoch vier nehmen,

dann haben wir eine waschechte verkettete Funktion.

Hier ist eine Funktion.

Wenn wir an einigen Punkten eine Tangente einzeichnen,

dann erkennen wir: Wo die Tangente nach oben weist, ist die Funktion steigend,

und wo die Tangente nach unten weist, ist die Funktion fallend.

Und wo die Tangente waagerecht verläuft, hat die Funktion ein Minimum,

oder aber ein Maximum.

Die Tangente bewegt sich also gewissermaßen synchron zur Funktion, und wenn wir die Steigung der Tangenten einer Funktion berechnen, können wir sagen,

was die eigentliche Funktion macht.

Berechnen wir zum Beispiel die Steigung dieser Tangente.

Die Steigung sagt uns, wie viele Schritte es nach oben geht, wenn wir einen Schritt nach vorn machen.

Zur Berechnung der Steigung nehmen wir einen anderen Punkt zur Hilfe.

Erst berechnen wir die Steigung der Geraden,

die durch diese zwei Punkte verläuft.

Und so bekommen wir die Steigung dieser Geraden:

Strecke aufwärts

Strecke vorwärts

Diese Steigung ist der Differenzenquotient.

Die Steigung der Sekante ist

der Differenzenquotient:

Das ist wunderbar, aber eigentlich wollten wir die Steigung der Tangente berechnen.

Das bekommen wir auch noch heraus – und zwar, indem wir uns von vom Punkt  aus in Richtung  nähern. Dadurch kommen die Sekanten immer näher an die Tangente heran.

Die Tangentensteigung ist also der Grenzwert der Sekantensteigung.

Diesen Wert nennen wir den Differentialquotienten. Er ist die Ableitung.

Die Steigung der Tangente ist

der Differentialquotient:

Dieser ist im Punkt  die Ableitung.

Die Ableitung einer Funktion gibt also die Steigung der Tangente an, die an den Funktionsgraphen angelegt werden kann.

Die Ableitung der Funktion bezeichnen wir mit .

Sehen wir nun, zu welchen Funktionen welche Ableitungen gehören!

Die Ableitung von konstanten Funktionen ist Null.

ist zum Beispiel eine konstante Funktion, und

Die Ableitung von Potenzfunktionen ist

 hat zum Beispiel die Ableitung

Die Ableitung einer Wurzelfunktion geht genauso:

 und die Ableitung:

ist eine sichere Bank, denn ihre Ableitung ist sie selbst:  

Die Ableitung von  sieht nicht mehr so hübsch aus:

Und jetzt nehmen wir mal das hier:  

Die Ableitung davon ist nicht , denn x steht hier im Exponenten.

und dieses  ist eine konkrete Zahl, nämlich Logarithmus 5 zur Basis e. Aber keine Sorge, das können wir mit dem Taschenrechner ausrechnen:

Sieht super aus, aber vielleicht bleiben wir doch lieber bei .

Dann ist hier noch die Ableitung der bereits erwähnten :

Und die Ableitung der anderen Logarithmen lautet

Zum Beispiel . Das ist der Logarithmus zur Basis 10 (dekadischer Logarithmus oder auch Zehnerlogarithmus), daher a=10 und die Ableitung lautet

Und jetzt kommen die trigonometrischen Funktionen.

Die Ableitung des Sinus ist der Kosinus, und die Ableitung des Kosinus ist der negative Sinus.

Die Ableitung des Tangens

ist schon etwas komplizierter, vom Rest gar nicht zu reden.

Jetzt kommen wir zu den Ableitungsregeln.

Und jetzt noch die trickreichste Ableitungsregel: die Kettenregel für zusammengesetzte (verkettete) Funktionen.

Hier ist eine Funktion, die noch nicht verkettet ist.

Zu einer verketteten Funktion wird sie dann, wenn wir statt x zum Beispiel das einsetzen:

Jetzt haben wir eine verkettete Funktion, und die Kettenregel geht so: Erst leiten wir die äußere Funktion ab und erhalten

  [EB1] 

… und dann multiplizieren wir das mit der Ableitung der inneren Funktion.

Hier kommt schon das nächste Beispiel.

Das ist noch keine verkettete Funktion, sondern eine einfache Addition.

Aber wenn das ganze hoch vier nehmen,

dann haben wir eine waschechte verkettete Funktion.

Die äußere Funktion ist

Die Ableitung geht wie gewohnt.

… und dann multiplizieren wir auch hier mit der Ableitung der inneren Funktion.

Sehen wir uns nun das hier an:

Die äußere Funktion und ihre Ableitung:

Und jetzt probieren wir unser Glück mit

Aufgaben zur Ableitung.

5.1.

5.2.

5.3.

Erst kommt eine groß angelegte Umformungsaktion, und dann eine kurze Ableitung.

5.4.

5.5.

5.6.

5.7.

5.8.

Die Ableitung einer Funktion gibt also die Steigung der Tangente an, die an den Funktionsgraphen angelegt werden kann.

Die Ableitung der Funktion bezeichnen wir mit .

Sehen wir nun, zu welchen Funktionen welche Ableitungen gehören!

Die Ableitung von konstanten Funktionen ist Null.

ist zum Beispiel eine konstante Funktion, und

Die Ableitung von Potenzfunktionen ist

 hat zum Beispiel die Ableitung

Die Ableitung einer Wurzelfunktion geht genauso:

 und die Ableitung:

ist eine sichere Bank, denn ihre Ableitung ist sie selbst:  

Die Ableitung von  sieht nicht mehr so hübsch aus:

Und jetzt nehmen wir mal das hier:  

Die Ableitung davon ist nicht , denn x steht hier im Exponenten.

und dieses  ist eine konkrete Zahl, nämlich Logarithmus 5 zur Basis e. Aber keine Sorge, das können wir mit dem Taschenrechner ausrechnen:

Sieht super aus, aber vielleicht bleiben wir doch lieber bei .

Dann ist hier noch die Ableitung der bereits erwähnten :

Und die Ableitung der anderen Logarithmen lautet

Zum Beispiel . Das ist der Logarithmus zur Basis 10 (dekadischer Logarithmus oder auch Zehnerlogarithmus), daher a=10 und die Ableitung lautet

Und jetzt kommen die trigonometrischen Funktionen.

Die Ableitung des Sinus ist der Kosinus, und die Ableitung des Kosinus ist der negative Sinus.

Die Ableitung des Tangens

ist schon etwas komplizierter, vom Rest gar nicht zu reden. 

Die Differenzialrechnung ist ein wesentlicher Bestandteil der Technische Mathematik und damit ein Gebiet der WirtschaftMathematik. Zentrales Thema der Differentialrechnung ist die Berechnung lokaler Veränderungen von Funktionen. Hierzu dienlich und gleichzeitig Grundbegriff der Differentialrechnung ist die Ableitung einer Funktion, deren geometrische Entsprechung die Tangentensteigung ist. Äquivalent wird die Ableitung in einem Punkt als die Steigung derjenigen linearen Funktion definiert, die unter allen linearen Funktionen die Änderung der Funktion am betrachteten Punkt lokal am besten approximiert. Entsprechend wird die Ableitung auch die Linearisierung der Funktion genannt.

In vielen Fällen ist die Differentialrechnung ein unverzichtbares Hilfsmittel zur Bildung mathematischer Modelle, die die Wirklichkeit möglichst genau abbilden sollen, sowie zu deren nachfolgender Analyse. Die Entsprechung der Ableitung im untersuchten Sachverhalt ist häufig die momentane Änderungsrate. So ist beispielsweise die Ableitung der Orts- bzw. Weg-Zeit-Funktion eines Teilchens nach der Zeit seine Momentangeschwindigkeit und die Ableitung der Momentangeschwindigkeit nach der Zeit liefert die momentane Beschleunigung. In den Wirtschaftswissenschaften spricht man auch häufig von Grenzraten anstelle der Ableitung.

Die Differenzialrechnung ist ein wesentlicher Bestandteil der Technische Mathematik und damit ein Gebiet der WirtschaftMathematik. Zentrales Thema der Differentialrechnung ist die Berechnung lokaler Veränderungen von Funktionen. Hierzu dienlich und gleichzeitig Grundbegriff der Differentialrechnung ist die Ableitung einer Funktion, deren geometrische Entsprechung die Tangentensteigung ist. Äquivalent wird die Ableitung in einem Punkt als die Steigung derjenigen linearen Funktion definiert, die unter allen linearen Funktionen die Änderung der Funktion am betrachteten Punkt lokal am besten approximiert. Entsprechend wird die Ableitung auch die Linearisierung der Funktion genannt.

In vielen Fällen ist die Differentialrechnung ein unverzichtbares Hilfsmittel zur Bildung mathematischer Modelle, die die Wirklichkeit möglichst genau abbilden sollen, sowie zu deren nachfolgender Analyse. Die Entsprechung der Ableitung im untersuchten Sachverhalt ist häufig die momentane Änderungsrate. So ist beispielsweise die Ableitung der Orts- bzw. Weg-Zeit-Funktion eines Teilchens nach der Zeit seine Momentangeschwindigkeit und die Ableitung der Momentangeschwindigkeit nach der Zeit liefert die momentane Beschleunigung. In den Wirtschaftswissenschaften spricht man auch häufig von Grenzraten anstelle der Ableitung.

Die Differenzialrechnung ist ein wesentlicher Bestandteil der Technische Mathematik und damit ein Gebiet der WirtschaftMathematik. Zentrales Thema der Differentialrechnung ist die Berechnung lokaler Veränderungen von Funktionen. Hierzu dienlich und gleichzeitig Grundbegriff der Differentialrechnung ist die Ableitung einer Funktion, deren geometrische Entsprechung die Tangentensteigung ist. Äquivalent wird die Ableitung in einem Punkt als die Steigung derjenigen linearen Funktion definiert, die unter allen linearen Funktionen die Änderung der Funktion am betrachteten Punkt lokal am besten approximiert. Entsprechend wird die Ableitung auch die Linearisierung der Funktion genannt.

Die Differenzialrechnung ist ein wesentlicher Bestandteil der Technische Mathematik und damit ein Gebiet der WirtschaftMathematik. Zentrales Thema der Differentialrechnung ist die Berechnung lokaler Veränderungen von Funktionen. Hierzu dienlich und gleichzeitig Grundbegriff der Differentialrechnung ist die Ableitung einer Funktion, deren geometrische Entsprechung die Tangentensteigung ist. Äquivalent wird die Ableitung in einem Punkt als die Steigung derjenigen linearen Funktion definiert, die unter allen linearen Funktionen die Änderung der Funktion am betrachteten Punkt lokal am besten approximiert. Entsprechend wird die Ableitung auch die Linearisierung der Funktion genannt.

Die Differenzialrechnung ist ein wesentlicher Bestandteil der Technische Mathematik und damit ein Gebiet der WirtschaftMathematik. Zentrales Thema der Differentialrechnung ist die Berechnung lokaler Veränderungen von Funktionen. Hierzu dienlich und gleichzeitig Grundbegriff der Differentialrechnung ist die Ableitung einer Funktion, deren geometrische Entsprechung die Tangentensteigung ist. Äquivalent wird die Ableitung in einem Punkt als die Steigung derjenigen linearen Funktion definiert, die unter allen linearen Funktionen die Änderung der Funktion am betrachteten Punkt lokal am besten approximiert. Entsprechend wird die Ableitung auch die Linearisierung der Funktion genannt.

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