Funktionen mit zwei Variablen

ABLEITUNG UND LOKALE EXTREMA VON MULTIVARIATEN FUNKTIONEN

Bei Funktionen mit zwei Variablen geht es darum, zwei reellen Zahlen eine dritte reelle Zahl zuzuordnen.

Wir können auch sagen, dass wir einem Zahlenpaar eine dritte Zahl zuordnen.

Diese Zahlenpaare können wir zum Beispiel als Punktkoordinaten in einer Ebene betrachten.

Eine Funktion mit zwei Variablen ordnet den Punkten dieser Ebene eine dritte Koordinate zu – die Höhe.

Indem wir jedem Punkt des Definitionsbereichs diese dritte Koordinate (die Höhe) zuordnen, entsteht oberhalb der Ebene x,y eine Fläche: Das ist unsere Funktion.

Manche Eigenschaften der Funktionen mit einer Variablen werden von den Funktionen mit zwei Variablen geerbt – andere wiederum nicht.

Bei zwei Variablen ergibt zum Beispiel der Begriff der Monotonie keinen Sinn, denn bei einer Fläche wäre es schwierig zu entscheiden, ob sie gerade steigt oder fällt.

Das Konzept von Minimum und Maximum hingegen lässt sich übertragen.

Das Maximum einer Funktion mit zwei Variablen können wir uns als Berggipfel und das Minimum als Tal vorstellen.

Sehen wir uns jetzt einige Funktionen mit zwei Variablen an.

LOKALES MINIMUM

SATTELPUNKT

LOKALES MAXIMUM

Unsere Aufgabe wird es sein, herauszufinden, wo das Minimum, das Maximum oder der Sattelpunkt der Funktionen mit zwei Variablen liegt.

Wie bei Funktionen mit nur einer Variable müssen wir auch hier ableiten. Da wir hier die zwei Variablen x und y haben, werden wir sowohl nach x als auch nach y ableiten – das verspricht doppelten Spaß.

Diese Ableitungen nennen wir partielle Ableitungen.

Sehen wir uns jetzt diese partiellen Ableitungen an.

Unsere Aufgabe wird es sein, herauszufinden, wo das Minimum, das Maximum oder der Sattelpunkt der Funktionen mit zwei Variablen liegt.

Wie bei Funktionen mit nur einer Variable müssen wir auch hier ableiten. Da wir hier die zwei Variablen x und y haben, werden wir sowohl nach x als auch nach y ableiten – das verspricht doppelten Spaß.

Diese Ableitungen nennen wir partielle Ableitungen.

Sehen wir uns jetzt diese partiellen Ableitungen an.

PARTIELLE ABLEITUNGEN

Differenzieren wir zum Beispiel diese Funktion.

Partielle Ableitung der Funktion  nach

   Wir differenzieren nach x; y ist nur eine Konstante

Wir differenzieren nach x,

y ist jetzt nur eine Konstante,

wenn es alleine steht, ist seine Ableitung null

wenn es mit einem x-Faktor multipliziert ist, dann bleibt es erhalten

Partielle Ableitung der Funktion  nach

Wir differenzieren nach y; x ist nur eine Konstante

Wir differenzieren nach y,

x ist jetzt nur eine Konstante,

wenn es alleine steht, ist seine Ableitung null

wenn es mit einem y-Faktor multipliziert ist, dann bleibt es erhalten             

Partielle Ableitungen können auch anders geschrieben werden.

Und zwar so.

Wir differenzieren nach y,

x ist jetzt nur eine Konstante,

wenn es alleine steht, ist seine Ableitung null

wenn es mit einem y-Faktor multipliziert ist, dann bleibt es erhalten             

Partielle Ableitungen können auch anders geschrieben werden.

Und zwar so.

Wir werden beide Schreibweisen verwenden.

Hier ist eine weitere Funktion. Diese leiten wir auch ab.

ABLEITUNGEN ERSTER ORDNUNG

ABLEITUNGEN ZWEITER ORDNUNG

Beide partiellen Ableitungen erster Ordnung können nach x oder y weiter differenziert werden.

So erhalten wir vier Ableitungen zweiter Ordnung.

Die beiden Ableitungen am Rand sind sogenannte reine Ableitungen, während die beiden mittleren gemischte Ableitungen sind.

Die gemischten Ableitungen zweiter Ordnung sind in der Regel gleich.

Genauer gesagt sind sie dann gleich, wenn die Funktion zweimal total differenzierbar ist.

Wir merken uns aber lieber, dass sie immer gleich sind, mit Ausnahme eines Kapitels für Profis, in dem es um die genaue Formulierung der multivariaten Ableitung gehen wird.

Und jetzt wollen wir sehen, wie uns die partielle Ableitung hilft, lokale Minima und Maxima zu finden.

Jetzt wollen wir sehen, wie wir mithilfe der partiellen Ableitung lokale Minima und Maxima finden können.

Und jetzt wollen wir sehen, wie uns die partielle Ableitung hilft, lokale Minima und Maxima zu finden.

Jetzt wollen wir sehen, wie wir mithilfe der partiellen Ableitung lokale Minima und Maxima finden können.

SCHRITT 1:

Die resultierenden Zahlenpaare sind Punkte auf der x,y-Ebene.

Diese Punkte werden stationäre Punkte genannt. An diesen Stellen kann die Funktion ein Minimum, ein Maximum oder einen Sattelpunkt haben.

Die Lösungen sind die stationären Punkte.

Und jetzt geht es an die Ableitungen zweiter Ordnung.

Wir ordnen sie schön in einer Matrix an, die Hesse-Matrix heißt.

Dann setzen wir die stationären Punkte ein.

Von diesen Matrizen brauchen wir die ... ja genau: die Determinanten.

Sollte jemand noch nicht von der Determinante einer Matrix gehört haben (was verständlich wäre), keine Bange, es ist sehr einfach.

Wir ordnen sie schön in einer Matrix an, die Hesse-Matrix heißt.

Dann setzen wir die stationären Punkte ein.

Von diesen Matrizen brauchen wir die ... ja genau: die Determinanten.

Sollte jemand noch nicht von der Determinante einer Matrix gehört haben (was verständlich wäre), keine Bange, es ist sehr einfach.

Hier ist eine 2x2-Matrix, deren Determinante eine Zahl ist.

Diese Zahl kann positiv, negativ oder null sein.

Diese Matrix hier zum Beispiel

hat die Determinante -14.

Wir berechnen die Determinante der Hesse-Matrix, die positiv, negativ oder null sein kann.

Wenn positiv, dann Extremwert: Minimum oder Maximum.

.

Wenn negativ, dann Sattelpunkt.

Bei null sind weitere Untersuchungen erforderlich, das ist aber eher selten.

Wir fassen das mal kurz und knapp zusammen.

Und jetzt wollen wir sehen, wie es an den beiden stationären Punkten aussieht.

 scheint ein Sattelpunkt zu sein.

Und  ist ein lokales Minimum.

Wir fassen das mal kurz und knapp zusammen.

Und jetzt wollen wir sehen, wie es an den beiden stationären Punkten aussieht.

 scheint ein Sattelpunkt zu sein.

Und  ist ein lokales Minimum.

Und gleich noch eine ähnliche Aufgabe.

Wir suchen die lokalen Extrem- und Sattelpunkte der folgenden Funktion:

Die stationären Punkte:

Und jetzt geht es an die Ableitungen zweiter Ordnung.

Jetzt wollen wir sehen, wie es mit den stationären Punkten aussieht.

Auf zur nächsten Aufgabe:

Jetzt wollen wir sehen, wie es mit den stationären Punkten aussieht.

Auf zur nächsten Aufgabe:

Der stationäre Punkt:

Und jetzt geht es an die Ableitungen zweiter Ordnung.

Jetzt wollen wir sehen, wie es mit den stationären Punkten aussieht.

Aha, ein lokales Minimum.

Wir setzen für x und y auch 1 ein:      

Das ist positiv definit, also ein lokales Minimum

Wir differenzieren

Wir lösen das Gleichungssystem

Aha, ein lokales Minimum.

pontot

 -> ezt (ill. az összes következő lila szöveget a "cax2vari04" sorig) nem találtam a weben, szükség esetén kérnék screenshotot.

Wir setzen für x und y auch 1 ein:      

Das ist positiv definit, also ein lokales Minimum

Wir differenzieren

Wir lösen das Gleichungssystem

                  , ,

                 , ,

Zwei stationäre Punkte:  und

Sehen wir uns die Jacobi-Matrix an:

Und jetzt kommen wir zu den stationären Punkten.

Wir beginnen mit dem Punkt .

Für x, y und z setzen wir 0 ein:

Das ist indefinit, also ist  ein Sattelpunkt.

Sehen wir uns die Jacobi-Matrix an:

Und jetzt kommen wir zu den stationären Punkten.

Wir beginnen mit dem Punkt .

Für x, y und z setzen wir 0 ein:

Das ist indefinit, also ist  ein Sattelpunkt.

Und jetzt sehen wir uns den Punkt  an.

Für x und y wird 1 und für z wird 0 eingesetzt:       

Das ist positiv definit, also ein lokales Minimum.

cax2vari04

Jetzt kommt etwas ganz Spannendes.

Hier ist diese Funktion mit zwei Variablen …

Und hier ist ein Kreis, den wir jetzt auf der Oberfläche der Funktion ablegen.

Der so entstandene gekrümmte Kreis hat auf dieser Oberfläche zwei Minima.

Und zwei Maxima.

Diese nennen wir bedingte Extremwerte.

Bedingter Extremwert bedeutet, dass diese Punkte normalerweise keine Extremwerte sind, wenn wir nur die Oberfläche der Funktion betrachten …

Sie sind aber Extremwerte, wenn wir die Nebenbedingung berücksichtigen.

Wir betrachten gerade die Funktion

Und die Nebenbedingung lautet:

Und jetzt wollen wir die bedingten Extremwerte finden.

Dazu verwenden wir das Multiplikatorverfahren nach Lagrange.

Der Kern dieser Methode ist diese Funktion:

Diese werden wir jetzt differenzieren.

Extremwerte sind an Punkten möglich, an denen die Ableitung null ist.

Das sind die sogenannten stationären Punkte.

Wir bekommen sie durch Lösen dieses Gleichungssystems.

Jetzt brauchen wir aber noch eine Gleichung.

Die Nebenbedingung.

Ein Produkt ist dann null, wenn einer der Faktoren null ist.

Extremwerte sind an Punkten möglich, an denen die Ableitung null ist.

Das sind die sogenannten stationären Punkte.

Wir bekommen sie durch Lösen dieses Gleichungssystems.

Jetzt brauchen wir aber noch eine Gleichung.

Die Nebenbedingung.

Ein Produkt ist dann null, wenn einer der Faktoren null ist.

Wenn x=0 ist, haben wir ein kleines Problem.

In diesem Fall ist nämlich auch y null.

Die Nebenbedingung ist damit nicht erfüllt.

Den Fall x=0 können wir somit ausschließen.

Übrig bleibt noch der andere Fall.

Weiter geht es mit den stationären Punkten.

Und jetzt geht es an die Ableitungen zweiter Ordnung.

Zum Schluss wollen wir noch sehen, welcher Wert ein Minimum und welcher ein Maximum ist.

Wir nehmen die übliche Methode …

bed. Maximum

bed. Minimum

Sehen wir uns noch eine Aufgabe an.

Aber keine Sorge, diese wird viel kürzer sein.

Wir suchen den bedingten Extremwert dieser Funktion:

Hier ist die Nebenbedingung:

Wir brauchen wieder die Lagrange-Multiplikatoren:

Dann lösen wir das Gleichungssystem:

Es scheint einen einzigen stationären Punkt zu geben:

Und jetzt geht es an die Ableitungen zweiter Ordnung.

Und die letzte Frage: Minimum oder Maximum?

Es scheint sich um ein bedingtes Maximum zu handeln.

Und schon sind wir fertig.

Vielleicht erinnern wir uns noch an die geometrische Bedeutung der Ableitung: Bei Funktionen mit einer Variable entspricht sie der Steigung der Tangente.

Die Gleichung der Tangente, die die Funktion  im Punkt  berührt:

Die Tangente einer Funktion mit einer Variable ist eine Gerade; die Tangente einer Funktion mit zwei Variablen ist eine Ebene.

Es gibt eine Koordinate mehr, also nicht nur x und y, sondern x, y und z.

Vielleicht erinnern wir uns noch an die geometrische Bedeutung der Ableitung: Bei Funktionen mit einer Variable entspricht sie der Steigung der Tangente.

Die Gleichung der Tangente, die die Funktion  im Punkt  berührt:

Die Tangente einer Funktion mit einer Variable ist eine Gerade; die Tangente einer Funktion mit zwei Variablen ist eine Ebene.

Es gibt eine Koordinate mehr, also nicht nur x und y, sondern x, y und z.

Dies ist also die Gleichung der Tangentialebene.

Sehen wir uns ein Beispiel an.

Hier ist zum Beispiel diese Funktion:

Wir suchen die Tangentialebene im Punkt .

Hier ist die Gleichung der Tangentialebene, und diese müssen wir berechnen.

Dies ist die Gleichung der Tangentialebene:

Wenn wir erst die Klammern auflösen und dann die Gleichung nach null auflösen, erhalten wir den Normalenvektor der Ebene.

Hier ist der Normalenvektor:

Die ersten beiden Koordinaten entsprechen den Ableitungen nach x und y, und die dritte Koordinate ist immer –1.

Für welchen Parameter  geht die Tangente, die im Punkt  die Funktion

berührt, durch den Punkt ?

Die ersten beiden Koordinaten entsprechen den Ableitungen nach x und y, und die dritte Koordinate ist immer –1.

Für welchen Parameter  geht die Tangente, die im Punkt  die Funktion

berührt, durch den Punkt ?

Ein Punkt liegt in einer Ebene, wenn die Ebenengleichung beim Einsetzen der Punktkoordinaten erfüllt ist.

Hier ist unser :

GRADIENTVEKTOR UND RICHTUNGSABLEITUNG

Der Vektor, der aus den Ableitungen der Funktion  nach x und y gebildet wird, heißt Gradient oder auch Gradientvektor.

Dies ist der Gradientvektor:

oder kurz .

Mithilfe des Gradientvektors können wir die Richtungsableitung berechnen. Die Richtungsableitung gibt die Steigung der Funktionsfläche in einer beliebigen, von uns vorgegebenen Richtung  an.

Stellen wir uns einen Bergsteiger vor, der im Punkt P auf der Fläche steht und in die Richtung  losläuft.

Die Richtungsableitung gibt an, wie steil es für den Bergsteiger nach oben geht.

Die Richtungsableitung lässt sich sehr einfach berechnen: Sie ist das Skalarprodukt aus Gradientvektor und dem Vektor  mit der Länge 1.

Die Richtungsableitung  der Funktion  im Punkt :

       (  ist ein Einheitsvektor)                  

Sehen wir uns gleich ein Beispiel an!

Stellen wir uns einen Bergsteiger vor, der im Punkt P auf der Fläche steht und in die Richtung  losläuft.

Die Richtungsableitung gibt an, wie steil es für den Bergsteiger nach oben geht.

Die Richtungsableitung lässt sich sehr einfach berechnen: Sie ist das Skalarprodukt aus Gradientvektor und dem Vektor  mit der Länge 1.

Die Richtungsableitung  der Funktion  im Punkt :

       (  ist ein Einheitsvektor)                  

Sehen wir uns gleich ein Beispiel an!

Berechnen wir die Richtungsableitung von  in der Richtung  im Punkt .

Die Richtungsableitung gemäß der Formel:

Das komische Zeichen  ist das Ableitungssymbol. Ausgesprochen wird es als d oder del. Es gibt aber auch eine etwas freundlichere Bezeichnung für die Richtungsableitung: .

Zur Berechnung des Gradientvektors benötigen wir die partiellen Ableitungen.

Der Gradientvektor lautet also

So weit so gut.

Jetzt nehmen wir uns den Vektor vor.

Der Vektor in der Formel muss die Länge 1 haben.

Da  jedoch nicht Einheitslänge hat,

müssen wir erst einen Einheitsvektor aus ihm machen.

Wir teilen ihn durch seine Länge:

Die Richtungsableitung lautet somit:

Wenn uns jetzt der Bergsteiger fragt, in welche Richtung er von Punkt P aus starten muss, um den steilsten Weg zu haben …

dann können wir ihm antworten.

Die Steigung der Fläche ist immer in Richtung des Gradientvektors am größten.

Der Bergsteiger nimmt also den steilsten Weg, wenn er in Richtung des Gradientvektors losläuft:

Wenn uns jetzt der Bergsteiger fragt, in welche Richtung er von Punkt P aus starten muss, um den steilsten Weg zu haben …

dann können wir ihm antworten.

Die Steigung der Fläche ist immer in Richtung des Gradientvektors am größten.

Der Bergsteiger nimmt also den steilsten Weg, wenn er in Richtung des Gradientvektors losläuft:

(itt nincs német szöveg, a magyar mondat teljes egészében az egyenlet fölé került)

So steil geht es also für den Bergsteiger nach oben.

Ableitungsregel für implizite Funktionen

 ist eine explizite Funktion. Abgeleitet wird sie nach allen Regeln der Kunst als

Eine Funktion ist implizit, wenn y nicht explizit ein Wert zugeordnet wird, wenn also die Funktion nicht die Form y= ... hat.

Wir erhalten eine implizite Funktion, wenn wir die Funktion durcheinanderwürfeln, zum Beispiel so:

Wir ziehen auch noch die Wurzel daraus.

Das ist jetzt eine implizite Funktion.

Wenn wir diese implizite Funktion ableiten wollen, müssen wir beide Seiten der Gleichung ableiten und y als Funktion betrachten*.

Das ist sie übrigens auch, denn   .

Die Ableitung von x auf der rechten Seite ist ganz sicher 1.

Die linke Seite ist schon aufregender. Hier haben wir eine verkettete Funktion:

Wir müssen auch noch mit der Ableitung der inneren Funktion multiplizieren.

Die Ableitung von x auf der rechten Seite ist ganz sicher 1.

Die linke Seite ist schon aufregender. Hier haben wir eine verkettete Funktion:

Wir müssen auch noch mit der Ableitung der inneren Funktion multiplizieren.

Was uns interessiert, ist  – also die Ableitung der implizit definierten Funktion .

Versuchen wir, nach  aufzulösen.

Geschafft.

Wir wissen, dass , und setzen das für y ein …

Und das ist nichts anderes als die explizite Ableitung.

Es stellt sich natürlich die Frage, wozu die ganze Mühe gut war, wenn nach dieser viel komplizierteren Rechnerei doch dasselbe Ergebnis herauskommt.

Die Antwort ist, dass es leider Funktionen gibt, die keine explizite Form haben.

Diese Funktion hat eine explizite Form, daher war hier der Aufwand für die implizite Ableitung tatsächlich nicht nötig.

Aber nehmen wir zum Beispiel dies hier:

Hier gibt es keine Möglichkeit, nach y aufzulösen, und somit sind wir auf die implizite Ableitung angewiesen.

Wir differenzieren also beide Seiten, dürfen dabei aber nicht vergessen, dass y hier eine Funktion ist.

So ist  zum Beispiel eine verkettete Funktion.

Gemäß der Ableitungsregel für verkettete Funktionen:

Die Antwort ist, dass es leider Funktionen gibt, die keine explizite Form haben.

Diese Funktion hat eine explizite Form, daher war hier der Aufwand für die implizite Ableitung tatsächlich nicht nötig.

Aber nehmen wir zum Beispiel dies hier:

Hier gibt es keine Möglichkeit, nach y aufzulösen, und somit sind wir auf die implizite Ableitung angewiesen.

Wir differenzieren also beide Seiten, dürfen dabei aber nicht vergessen, dass y hier eine Funktion ist.

So ist  zum Beispiel eine verkettete Funktion.

Gemäß der Ableitungsregel für verkettete Funktionen:

Ableitung der äußeren Funktion

multipliziert mit der Ableitung der inneren Funktion

Knöpfen wir uns also diese implizite Ableitung vor.

Wir differenzieren beide Seiten der Gleichung:

Wir brauchen die Ableitung von y, also sammeln wir alle  auf einer Seite und bringen alles Übrige auf die andere Seite:

Dann klammern wir  aus.

   Und schließlich teilen wir: 

Das ist also die Ableitung unserer implizit definierten Funktion.

Sehen wir uns nun die Ableitungsregel für implizite Funktionen an.

Die Regel soll uns das Leben erleichtern.

Wenn  eine implizite Funktion ist, dann lautet gemäß der Regel ihre Ableitung:

Das sieht zunächst nicht sehr ermutigend aus, aber probieren wir es mal in der Praxis aus.

Hier haben wir eine implizite Funktion:

Diese lösen wir nach null auf

und taufen sie auf den Namen F.

Wenn  eine implizite Funktion ist, dann lautet gemäß der Regel ihre Ableitung:

Das sieht zunächst nicht sehr ermutigend aus, aber probieren wir es mal in der Praxis aus.

Hier haben wir eine implizite Funktion:

Diese lösen wir nach null auf

und taufen sie auf den Namen F.

Bevor wir einem fatalen Irrtum aufsitzen, stellen wir gleich klar, dass  hier keine Funktion mit zwei Variablen, sondern eine implizite Funktion ist.

Es gibt nämlich einen riesigen Unterschied zwischen  und .

Sehen wir uns den Unterschied einmal an.

 ist wirklich eine Funktion mit zwei Variablen. x und y können frei gewählt werden, aber

 hat keine zwei Variablen, wie uns gleich klar wird, wenn wir x=0 und y=0 setzen.

2=0 kann nicht stimmen. Das heißt: Hier ist entweder nur x oder nur y frei wählbar, aber nicht beide. Somit hat die Funktion nur eine Variable.

Nachdem wir das nun geklärt haben, zücken wir unsere Formel.

Gemäß der Formel für die implizite Ableitung müssen wir die Funktion  mit der üblichen partiellen Ableitung nach x und y ableiten.

Und hier ist die implizite Ableitung.

Das Ergebnis ist wie zuvor, aber die Berechnung war jetzt viel einfacher.

Das ist also der Sinn der Regel für die implizite Ableitung.

Die Regel funktioniert auch bei mehr Variablen.

Wenn  eine implizite Funktion mit einer Variablen ist, dann lautet ihre Ableitung:

Wenn  eine implizite Funktion mit n Variablen ist, dann lautet die Ableitung der impliziten Funktion  nach der Variable :

Sehen wir uns dazu ein Beispiel an.

Dies ist eine implizite Funktion mit zwei Variablen.

Sie enthält zwar drei Buchstaben, x, y und z, aber wegen der Gleichheitsbedingung können nur zwei von ihnen frei gewählt werden.

Wenn  eine implizite Funktion mit n Variablen ist, dann lautet die Ableitung der impliziten Funktion  nach der Variable :

Sehen wir uns dazu ein Beispiel an.

Dies ist eine implizite Funktion mit zwei Variablen.

Sie enthält zwar drei Buchstaben, x, y und z, aber wegen der Gleichheitsbedingung können nur zwei von ihnen frei gewählt werden.

Bei bivariaten Funktionen sind normalerweise x und y die Variablen, wir können diese Funktion also wie folgt auffassen:

z = soundso viel x und y

Differenzieren wir also nach x und y:

GAZDASÁGI

KÉT HELYEN: CAX2vari04BGF

ÉS CAX2vari18

In einer Fabrik werden zwei Arten von Produkten hergestellt. Wenn A für €x und B für €y verkauft wird, dann kann preisabhängig vom Produkt A die Menge

und vom Produkt B die Menge

pro Woche abgesetzt werden (Angabe jeweils in 1000 Stück).

Bei welchen Verkaufspreisen wird der höchste Gewinn erzielt, wenn die Herstellungskosten von A €2/Stück und von B €1/Stück betragen?

Das wird auf jeden Fall spannend …

Wir erstellen eine Tabelle.

Produkt   Absatzmenge     Preis     Kosten/Stück

Der Plan ist wie folgt.

Erst berechnen wir den Stückgewinn. Der Stückgewinn ist der Gewinn, den wir beim Verkauf einer Produkteinheit erzielen. Bei einem Preis von €5 und Kosten von €2/Stück zum Beispiel beträgt der Stückgewinn 5–2=3 Euro.

Um den Gesamtgewinn zu erhalten, multiplizieren wir den Stückgewinn mit der abgesetzten Menge.

Wenn zum Beispiel der Stückgewinn 3 Euro beträgt und wir 100 Stück verkaufen, beträgt unser Gesamtgewinn 300 Euro.

Die separaten Gewinnbeträge von Produkt A und Produkt B werden dann addiert.

Perfekt.

Das ist die Funktion, deren Maximum wir suchen – wir müssen sie also ableiten.

Aber zuerst räumen wir etwas auf.

A müssen wir also zum Preis von x=7 und B zum Preis von y=4 Euro verkaufen.