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Kurvenintegral von Vektorfeldern

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Auf seiner ersten Reise nach Amerika nahm Kolumbus noch diesen Weg.

Aber bei seinen späteren Reisen nahm er einen anderen Weg, denn er hatte etwas entdeckt.

Und zwar, wie man Vektorfelder entlang einer Kurve integriert.

Quatsch.

Er hatte entdeckt, dass man von der Arbeit, die der Passatwind leistet, viel mehr abgreifen kann, wenn die Route einen kleineren Winkel mit dem Wind bildet.

Diese Arbeit ist nämlich das Skalarprodukt aus dem Richtungsvektor des Windes und dem Geschwindigkeitsvektor des Schiffes.

Je kleiner dieser Winkel ist, desto mehr Arbeit leistet der Wind.

Das wird langsam zu viel Physik hier, also gehen wir alles Schritt fĂĽr Schritt durch.

Der Passatwind lässt sich durch ein Vektorfeld beschreiben. So sieht es aus:

Und die Route von Kolumbus ist eine parametrische Kurve.

Ă„h, nicht ganz.

Entlang dieser Kurve hätte er niemals Amerika entdeckt.

Und das ist es auch nicht:

Die Route von Kolumbus soll ein einfacher Weg von A nach B sein.

Beim Auslaufen ist t=0.

Und bei der Ankunft ist t=8.

Die x-Koordinate der Reise ist also:

Und die y-Koordinate ist …

bei

bei

Wir denken nach …

Die durch den Wind geleistete Arbeit ist das Skalarprodukt aus dem Richtungsvektor des Windes und dem Geschwindigkeitsvektor des Schiffes.

Und der Geschwindigkeitsvektor ist, wie wir vielleicht noch wissen, die Ableitung der Kurve.

Die durch den Wind geleistete Arbeit:

Wir können dies für die gesamte Dauer des Schipperns berechnen, indem wir diese Skalarprodukte über die gesamte Strecke zusammenzählen.

Ein lustiges Integral hilft uns dabei.

In unserem Fall geht es von 0 bis 8.

Das Integral des Vektorfeldes entlang der Kurve von bis :

Berechnen wir fĂĽr diese Kurve das Integral entlang der Kurve:

Ăśber diesem Vektorfeld.

Wenn alles gut geht und wir zu einem Ergebnis kommen, dann haben wir berechnet, wie viel Arbeit der Passatwind leistet, wenn wir auf diesem Kreisbogen von Afrika nach SĂĽdamerika segeln.

Und jetzt kommt etwas Spannenderes.

Hier ist dieses Vektorfeld:

Berechnen wir sein Integral auf dieser Kurve:

Hier ist die Formel:

Und schon geht es weiter mit neuen Tipps zur nautischen Navigation.

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