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Gaußsche Eliminierung und elementare Basistransformation

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Hier ist unser nächstes Opfer, das wir eiskalt lösen werden.

Die Koeffizientenmatrix des Gleichungssystems ist eine Matrix, die aus den Koeffizienten der x-Werte besteht.

Die Konstanten der rechten Seite bilden einen Vektor.

Hier ist also die Matrixform des Gleichungssystems:

Aber kommen wir jetzt zur Sache. Hier ist die Grundidee zur Lösung des Gleichungssystems:

Wenn wir zum Beispiel so etwas vor uns haben

dann erhalten wir den einfachsten Lösungsweg über einen Trick.

Wenn wir die zweite Gleichung von der ersten abziehen:

Und wenn wir das Dreifache der zweiten Gleichung von der ersten abziehen:

Bei 3 oder gar mehr Unbekannten werden wir diesen Trick einsetzen.

Unser Ziel ist es, das Gleichungssystem in eine wesentlich freundlichere Form zu bringen, bei der jede Zeile nur eine Unbekannte enthält.

Wie zum Beispiel hier.

Sehen wir mal, wie das geht.

DAS GLEICHUNGSSYSTEM NUR DIE MATRIXFORM

Diese wollen wir zuerst loswerden.

Wir multiplizieren die erste Gleichung mit 2 und ziehen sie von der zweiten und dritten Gleichung ab.

Wir teilen die mittlere Gleichung durch –3.

Dann multiplizieren wir sie mit 2 und ziehen das Ergebnis aus der oberen Gleichung ab.

Dann addieren wir ihr 5-faches zur unteren Gleichung.

Die untere Gleichung teilen wir durch 4.

Schließlich addieren wir die untere Gleichung zur oberen.

Und wir ziehen sie von der mittleren ab.

Im Zuge der Lösung haben wir mit den Gleichungen exakt dieselben Operationen durchgeführt wie in der Matrixform.

Die Matrixform ist jedoch viel klarer, daher lohnt es sich, diese Form zu verwenden.

Bald können wir allerdings beide Versionen in Rente schicken, da wir eine viel spitzenmäßigere dritte Version kennenlernen werden.

Die bisher verwendeten Methoden werden als Gaußsches Eliminationsverfahren bezeichnet. Was jetzt kommt, ist sozusagen der Super-Gauß.

Das Super-Gauß-Verfahren hat den Vorteil, dass es viel kürzer ist und man nichts falsch machen kann.

Sehen wir es uns einmal an.

 

Gaußsche Eliminierung und elementare Basistransformation

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