Barion Pixel Darstellung und Transformation von Funktionen | MATHEKING
 
Hier erklären wir dir kurz und auf Anhieb verständlich, wie Funktionen dargestellt werden. Funktionen, Koordinaten, Definitionsbereich, Wertemenge, Transformationen, Transformation von innerer und äußerer Funktion, Spiegelung an der x-Achse, Spiegelung an der y-Achse, wichtige Funktionen – all dies ist eine Wiederholung der Sekundarstufenmathematik.
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Darstellung und Transformation von Funktionen Beginnen wir mit einer sehr einfachen Sache. Sehen wir uns an, wie Funktionen, nun ja, funktionieren. Hier haben wir die x-Achse, mit lauter Zahlen darauf. Die Funktion ordnet bestimmten Zahlen auf dieser Zahlengeraden eine andere Zahl zu. Zum Beispiel ihr Quadrat. Diese Funktion notieren wir so: … oder … oder … Meist verwenden wir die dritte Schreibweise. Die glücklichen x, denen die Funktion einen Wert zuordnet, machen den Definitionsbereich der Funktion aus, kurz Df. Bei x² ist dies die gesamte x-Achse. Aber hier ist eine andere Funktion, die für negative x nicht definiert ist. Wir erfahren auch gleich, warum. Diese Funktion heißt ....... . Keine Sorge, wir schauen gleich unter die Haube: Nun, das ist eine Zahl, die ins Quadrat erhoben 9 ergibt. Klar, so etwas gibt es … Aber hier haben wir ein kleines Problem … Für ... muss nämlich gelten, dass ... Daraus ergibt sich … Aber das ist leider unmöglich. Wir werden keine Zahl finden, dessen Quadrat negativ ist. Das Quadrat von positiven Zahlen ist positiv … Und das Quadrat von negativen Zahlen ist ebenfalls positiv. Also gibt es keine Zahl, die ins Quadrat erhoben –3 ergibt. Der Definitionsbereich von …: Jenen Teil der y-Achse, die den x-Werten zugeordnet ist, nennen wir den Wertevorrat der Funktion. Den Wertevorrat kürzen wir mit Rf ab. Kommen wir nun zurück zur Funktion x². Der Graph von x² ist eine Parabel, die ihren Scheitelpunkt im Ursprung hat. Aber wenn wir statt x … einsetzen … dann rutscht der Graph zur Seite. Der Scheitelpunkt des Graphen ist immer dort, wo dieser Ausdruck null ist. In unserem Fall ist das x=3. Dann hätten wir noch dies: Wenn wir zum Quadrat noch 3 addieren, verschiebt sich der Graph entlang der y-Achse um diesen Wert. Das nennen wir die innere Funktionstransformation, und das die äußere. Sehen wir uns mal Folgendes an: Die innere Transformation verschiebt den Graphen in x-Richtung, und die äußere Transformation verschiebt ihn in y-Richtung. Was passiert nun, wenn wir hier 2x einsetzen? Dann wird der Graph ein wenig in y-Richtung gestreckt, nichts großartig Spannendes. Viel interessanter ist, dass sich auch die Verschiebung ändert. Wir könnte nun das aussehen: … kennen wir bereits. Das müssen wir in x-Richtung verschieben, und zwar … rechnen wir mal aus … um 3. Und in y-Richtung um 2. Nehmen wir jetzt Folgendes: Das 3x streckt den Graphen ein bisschen, und dann kommt das Übliche. Wenn wir dem … ein Minuszeichen voranstellen, spiegeln wir damit den Graphen der Funktion um die x-Achse. Setzen wir innen ein Minuszeichen, spiegeln wir damit den Graphen um die y-Achse. Und wenn uns danach ist, können wir die Funktion auch um beide Achsen spiegeln. Noch interessanter wird es, wenn wir das mit den bisherigen Verschiebungen kombinieren. Sehen wir zum Beispiel, wie diese Funktion aussehen könnte. Wir haben eine leichte Verschiebung in x-Richtung, dann auch noch in y-Richtung, und schließlich eine Spiegelung aufgrund des Minuszeichens. Ganz anders sieht es aus, wenn das Minuszeichen außen ist: Alles super bisher. Was kommt wohl als Nächstes?
 

Darstellung und Transformation von Funktionen

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