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Flächeninhalt zwischen einer Funktion und ihrer Tangente

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Die Berechnung des zweiten Bereichs ist schon haariger.

Als Erstes brauchen wir diese Schnittpunkte.

Und jetzt kommen wir zu den Flächen.

Die gesuchte Fläche ist:

Jetzt kommt etwas ganz Witziges.

Wir integrieren bis unendlich.

Wie groß könnte zum Beispiel diese Fläche sein:

Die Integration bis geht so: Erst integrieren wir bis ,

und dann befehlen wir , gefälligst gegen zu streben.

Schauen wir mal, wie groß dieser Grenzwert sein könnte.

Vielleicht können wir diese Rechenstützen gebrauchen:

Aber so lassen sie sich einfacher merken.

Hier kommt die nächste Aufgabe:

Natürlich kann es auch vorkommen, dass beide Grenzen unendlich sind:

In diesem Fall teilen wir die Integration auf, zum Beispiel bei null.

In Wirklichkeit beträgt diese Fläche 1/3+1/3=2/3, aber die bestimmte Integration funktioniert so, dass die Flächen unterhalb der x-Achse ein negatives Vorzeichen haben.

Deshalb ist null als Ergebnis herausgekommen.

Diese ins Unendliche reichenden Integrale nennen wir uneigentliche Integrale.

Die bisher gesehenen Integrale liefen entlang der x-Achse gegen unendlich, aber es gibt auch solche, die entlang der y-Achse gegen unendlich streben.

Zum Beispiel hier:

Der Lösungsweg ist jedoch der gleiche.

Wenn wir die Funktion


auf der positiven Zahlengeraden integrieren, erhalten wir von 0 bis 1 und von 1 bis unendlich uneigentliche Integrale.

Schauen wir zunächst, was passiert, wenn wir von 0 bis 1 integrieren.

Den Fall werden wir uns separat vornehmen.

Und jetzt wollen wir den Grenzwert berechnen.

Wir setzen zuerst 1 ein,

und dann überlegen wir, was passiert, wenn .

Wenn also der Exponent eine positive Zahl ist,

dann kommt hier null heraus.

Wenn der Exponent negativ ist …

dann ist der Grenzwert unendlich.

Wenn genau 1 ist:

Jetzt kommen wir zum Bereich 1 bis unendlich.

Für ist der Exponent positiv,

und dann ist das Integral divergent.

Und wenn genau 1 ist:

Fassen wir zusammen: Für ist das Integral von 0 bis 1 divergent und von 1 bis unendlich konvergent.

Für ist das Integral von 0 bis 1 konvergent und von 1 bis unendlich divergent.

Für ist das Integral durchgehend divergent.

Was passiert, wenn wir diese Funktion f(x) um die x-Achse drehen?

Ganz einfach: Es entsteht ein Rotationskörper.

Berechnen wir nun das Volumen dieses Rotationskörpers …

zum Beispiel zwischen a und b.

Das Volumen besteht aus solchen Scheiben.

Der Radius der Scheibe ist genau f(x).

Das Volumen einer solchen Scheibe ist:

Und das Gesamtvolumen aller Scheiben von a bis b …

entspricht genau diesem Integral.

Die Oberfläche ist schon interessanter:

Diese Erkenntnisse werden uns später noch gelegen kommen.

Nehmen wir zum Beispiel diese Funktion:

Wir drehen sie um die x-Achse.

Berechnen wir nun das Volumen und die Oberfläche dieses Rotationskörpers zwischen 0 und 1.

Was könnte noch kommen?

Hier ist diese Funktion …

Wir drehen sie diesmal um die y-Achse.

Wie groß sind das Volumen und die Oberfläche dieses Rotationskörpers?

Keine Ahnung – unsere Formel gilt nur für die Drehung um die x-Achse.

Das Volumen dieses Körpers können wir hingegen schon berechnen.

Und diesen Körper erhalten wir, indem wir die Inverse von f um die x-Achse drehen.

Was könnte aber die Inverse von f sein?

 

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    Georg, 18
  • Genial um Mathe zu lernen.

    Adam, 19
  • Es macht Sinn, es macht Spaß, es ist das ganze Geld wert.

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