Aufgabe | Lokale Extrema und Sattelpunkte bestimmen

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Vielleicht erinnern wir uns noch an die geometrische Bedeutung der Ableitung: Bei Funktionen mit einer Variable entspricht sie der Steigung der Tangente.

Die Gleichung der Tangente, die die Funktion im Punkt berührt:

Die Tangente einer Funktion mit einer Variable ist eine Gerade; die Tangente einer Funktion mit zwei Variablen ist eine Ebene.

Es gibt eine Koordinate mehr, also nicht nur x und y, sondern x, y und z.

Dies ist also die Gleichung der Tangentialebene.

Sehen wir uns ein Beispiel an.

Hier ist zum Beispiel diese Funktion:

Wir suchen die Tangentialebene im Punkt .

Hier ist die Gleichung der Tangentialebene, und diese müssen wir berechnen.

Dies ist die Gleichung der Tangentialebene:

Wenn wir erst die Klammern auflösen und dann die Gleichung nach null auflösen, erhalten wir den Normalenvektor der Ebene.

Hier ist der Normalenvektor:

Die ersten beiden Koordinaten entsprechen den Ableitungen nach x und y, und die dritte Koordinate ist immer –1.

Für welchen Parameter geht die Tangente, die im Punkt die Funktion

berührt, durch den Punkt ?

 

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