Es gibt ein großes Problem mit der algebraischen Form komplexer Zahlen. Es ist nämlich fast unmöglich, sie zu potenzieren.

Versuchen wir zum Beispiel Folgendes zu berechnen:

Puh.

Das kann ja nur ein schlechter Scherz sein …

Es muss doch einen einfacheren Weg geben, komplexe Zahlen zu potenzieren!

Das hier ist die übliche algebraische Form einer komplexen Zahl,

und jetzt ersetzen wir sie durch eine trigonometrische Form, die sogenannte Polarform.

Die Grundidee der Polarform ist, dass wir komplexe Zahlen mithilfe von zwei neuen Merkmalen beschreiben: Absolutbetrag und Winkel.

Den Betrag bezeichnen wir mit r,

und den Winkel nennen wir Theta. Hier ist er:

Die Polarform macht die Multiplikation und Division von komplexen Zahlen

überraschend einfach.

Kehren wir nun zum Problem des Potenzierens zurück.

Wir wollen mal berechnen, wie viel ist.

Wir rechnen in die Polarform um.

Und jetzt potenzieren wir.

Die n-te Potenz erhalten wir, indem wir r hoch n nehmen und den Winkel mit n multiplizieren:

Somit erhalten wir

… und wenn wir wollen, können wir das wieder in die algebraische Form umrechnen.

Versuchen wir jetzt Folgendes zu berechnen:

Als Erstes brauchen wir die Polarformen.

Aber es gibt ein kleines Problem.

Die Gleichung

hat noch eine zweite Lösung.

Wir können uns auch per Münzwurf für eine der beiden Lösungen entscheiden,

sinnvoller ist es aber, eine grafische Darstellung zur Hilfe zu nehmen.

Wir es scheint, brauchen wir die negative Lösung.

Und jetzt kommt die Multiplikation.

Jetzt folgen ein Paar Zaubertricks:

Aber wo ist hier der Trick?

Die Wahrheit ist: Es gibt keinen Trick.

Als wir seinerzeit definiert haben, was bedeutet, haben wir gesagt, dass .

Dabei gibt es noch eine andere Zahl, die im Quadrat 4 ergibt: –2.

Im komplexen Zahlenbereich ist die Lage noch viel witziger.

So gilt zum Beispiel

Aber:

Mehr noch,

Es gibt also nicht weniger als vier Zahlen, die in der 4-ten Potenz 1 ergeben.

Dieses kleine Problem veranlasst uns, die Wurzel im komplexen Zahlenbereich anders zu definieren als im reellen Bereich.

Im reellen Bereich entspricht die n-te Wurzel einer Ausgangszahl immer genau einer einzigen Zahl, im komplexen Bereich hingegen umfasst sie alle Zahlen, die in der n-ten Potenz die Ausgangszahl ergeben.

Zum Beispiel:

reell komplex

Die n-te Wurzel einer komplexen Zahl ist jede komplexe Zahl in der Form

für die gilt:

und

r ist hier eine reelle Zahl, die den Betrag der komplexen Zahl angibt.

Das ist also eine normale Wurzeloperation im reellen Bereich, wie wir sie gewohnt sind.

WURZELZIEHEN

Wir haben hier diese komplexe Zahl:

Und jetzt sehen wir mal, was passiert, wenn wir zum Beispiel die fünfte Wurzel daraus ziehen.

Als Erstes benötigen wir die Polarform.

Jetzt können wir die Wurzel ziehen.

Die n-te Wurzel einer komplexen Zahl ist jede komplexe Zahl in der Form

für die gilt:

und

r ist hier eine reelle Zahl, die den Betrag der komplexen Zahl angibt.

Das ist also eine normale Wurzeloperation im reellen Bereich, wie wir sie gewohnt sind.

WURZELZIEHEN

Wir haben hier diese komplexe Zahl:

Und jetzt sehen wir mal, was passiert, wenn wir zum Beispiel die fünfte Wurzel daraus ziehen.

Als Erstes benötigen wir die Polarform.

Jetzt können wir die Wurzel ziehen.

Das sind nicht weniger als fünf komplexe Zahlen.

k=5 ist nicht mehr interessant, denn dieser Fall ist mit k=0 identisch.

So viel zum Thema Wurzelziehen.

Die komplexen Zahlen haben noch eine weitere interessante Darstellungsform: die Exponentialform.

Hier ist sie:

Wozu die Exponentialform gut ist?

Sie macht die Operationen im komplexen Zahlenbereich noch einfacher.

Sehen wir mal, wie die Exponentialform uns das Leben erleichtert.

Rechnen wir zum Beispiel z4 mit der Exponentialform aus.

Die sogenannte Eulersche Formel besagt:

Dann haben wir hier noch eine weitere Aufgabe. Berechnen wir die Kubikwurzel dieser komplexen Zahl.