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Gebrochenrationale Funktionen 2.0

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INTEGRATION GEBROCHENRATIONALER FUNKTIONEN

Die Integration gebrochenrationaler Funktionen verheißt Spaß ohne Ende.

Zum Einstieg müssen wir uns die Integration der sogenannten Partialbrüche beibringen.

Es gibt zwei Arten von Partialbrüchen:

I. II.

Der Partialbruch des ersten Typs hat einen linearen Nenner und einen konstanten Zähler.

Der Partialbruch des zweiten Typs hat einen quadratischen Nenner, der nicht in Linearfaktoren zerlegt werden kann, und einen linearen Zähler.

Wie können wir diese Partialbrüche integrieren?

Es gibt die Formel

Wir formen den Zähler um, damit die Ableitung des Nenners darin auftaucht.

Das brauchen wir noch, also addieren wir es und ziehen es gleich wieder ab.

Und schon haben wir die Ableitung des Nenners im Zähler.

Eine Konstante ist auch noch dabei.

Jetzt zerlegen wir den Bruch in die Summe zweier Brüche:

Die erste Integration ist schnell fertig:

Mit der zweiten quälen wir uns noch ein bisschen.

Im Nenner ergänzen wir auf ein vollständiges Quadrat.

Hier haben wir im Nenner ein vollständiges Quadrat. Den Term dahinter nennen wir der Einfachheit halber D.

Das hier nennen wir D, und schwups:

Und jetzt lösen wir eine Aufgabe.

Es ist sehr einfach, eine beliebige gebrochenrationale Funktion zu integrieren. Wir zerlegen sie einfach in Partialbrüche und integrieren diese Partialbrüche mit unseren bewährten Methoden.

Hier kommt schon eine passende Aufgabe:

Als Erstes überprüfen wir, ob der Grad des Zählers kleiner ist als der Grad des Nenners. Ist das nämlich nicht der Fall, müssen wir eine Polynomdivision durchführen.

Die Polynomdivision ist eine abgefahrene Sache, die wir uns später unbedingt anschauen sollten, sie wird hier aber glücklicherweise nicht benötigt.

Wir haben hier nämlich einen Zähler zweiten Grades und einen Nenner dritten Grades.

Jetzt kommt die Zerlegung in Partialbrüche. Es geht darum, den Nenner in lineare oder nicht weiter zerlegbare quadratische Faktoren zu zerlegen.

x klammern wir aus, und das lässt sich nicht weiter zerlegen, weil die Diskriminante negativ ist.

Die Zerlegung in ein Produkt ist damit komplett.

Das werden die Nenner der Partialbrüche sein.

Jetzt müssen wir nur noch die Zähler austüfteln. Und zwar zunächst nicht die expliziten Zähler, sondern ihre parametrische Form. Aber was bedeutet das überhaupt?

Unser eigentliches Ziel ist die Zerlegung in Partialbrüche. Und Partialbrüche kommen in zwei Arten vor.

Der Partialbruch vom Typ I hat einen linearen Nenner.

Der Partialbruch vom Typ II hat einen quadratischen Nenner, der nicht in ein Produkt zerlegt werden kann.

Bei der Zerlegung beginnen wir immer mit dem Nenner. Der Nenner des ersten Bruchs ist offensichtlich linear, also muss es sich um einen Partialbruch vom Typ I handeln. Der Zähler ist also irgendein A.

Der Nenner des zweiten Bruchs ist jedoch ein quadratischer Term, also ist dieser Bruch notwendigerweise vom Typ II, mit einem Zähler in der Form AX+B.

A ist schon besetzt, also nennen wir den Zähler Bx+C.

Und jetzt rechnen wir aus, was A, B und C sein könnten.

Dazu müssen wir uns diese beiden Brüche etwas genauer ansehen.

Wir multiplizieren mit den Nennern

und lösen die Klammern auf.

Dann schauen wir, wie viele x2, x und konstante Terme es auf der rechten Seite gibt.

Genauso viele gibt es nämlich auch auf der linken Seite.

Wir lösen das Gleichungssystem.

Der erste Bruch ist auch schon fertig. Der zweite dauert noch etwas.

Erst ergänzen wir auf die Ableitung des Nenners, und dann

Es ist sehr einfach, eine beliebige gebrochenrationale Funktion zu integrieren. Wir zerlegen sie einfach in Partialbrüche und integrieren diese Partialbrüche mit unseren bewährten Methoden.

Hier kommt schon eine passende Aufgabe:

Als Erstes überprüfen wir, ob der Grad des Zählers kleiner ist als der Grad des Nenners. Ist das nämlich nicht der Fall, müssen wir eine Polynomdivision durchführen.

Die Polynomdivision ist eine abgefahrene Sache, die wir uns später unbedingt anschauen sollten, sie wird hier aber glücklicherweise nicht benötigt.

Wir zerlegen den Nenner in ein Produkt. x klammern wir aus.

Dann schauen wir, ob der quadratische Term weiter zerlegt werden kann.

Anscheinend ja. Für diejenigen, denen der Mumm für eine solche Produktzerlegung fehlt, haben wir diese nette kleine Formel:

wobei

Die Produktzerlegung ist damit komplett. Das werden die Nenner der Partialbrüche sein.

Die Zähler knobeln wir immer ausgehend von den Nennern aus.

Da alle drei Nenner linear sind, sind alle drei Partialbrüche vom Typ I. Somit haben die Zähler die Form A, B und C.

Und jetzt rechnen wir aus, was A, B und C sein könnten.

Dazu müssen wir sie uns etwas genauer ansehen.

Wir multiplizieren mit den Nennern

– und dann kommt ein Trick.

Was passiert wohl, wenn wir für x null einsetzen?

Versuchen wir jetzt zu berechnen, was B sein könnte.

Dazu müssten wir diese Terme auf null setzen.

Zur Berechnung von C setzen wir schließlich diese auf null.

Wem dieser Trick nicht gefällt, der kann auch die Klammern auflösen:

Dann schauen wir, wie viele x2, x und konstante Terme es auf der rechten Seite gibt.

Genauso viele gibt es nämlich auch auf der linken Seite.

Wir lösen das Gleichungssystem.

Und hier kommt die nächste gebrochenrationale Funktion:

Auch hier müssen wir den Nenner in lineare oder nicht weiter zerlegbare quadratische Faktoren zerlegen.

Ob sich das wohl zerlegen lässt?

Anscheinend ja.

Jetzt kommt die Partialbruchzerlegung. Auffällig ist, dass einer der Linearfaktoren gleich zweimal im Nenner auftaucht. In einem solchen Fall hilft uns ein kleiner Trick bei der Partialbruchzerlegung.

Ein Partialbruch hat (2x+1) im Nenner, und der andere (2x+1)².

Auch hier berechnen wir die Zähler ausgehend von den Nennern.

Da alle drei Nenner linear (oder die Potenz eines linearen Terms) sind, sind alle drei Partialbrüche vom Typ I. Die Zähler haben also die Form A, B und C.

Und jetzt rechnen wir A, B und C aus.

Wir verwenden den Trick aus der vorherigen Bilderreihe.

Zuerst setzen wir diese Terme auf null:

Diese können wir nicht gleichzeitig auf null setzen. Damit ist A etwas schwieriger zu berechnen.

Setzen wir für x jetzt mal 0 ein.

Wir könnten genauso gut auch 666 einsetzen, aber dann wäre die Rechnerei etwas komplizierter.

Das hier lässt sich schon relativ leicht integrieren.

Auf zum
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  • Mein Bruder in der siebten Klasse hat das Ableiten gelernt, was ein ziemlicher Beweis dafür ist, dass es klar erklärt wird.

    Georg, 18
  • Es ist sehr günstig und besser und verständlicher als viele Privatlehrer.

    Mark, 22
  • Viel besser als jede meiner Universitätsvorlesungen.

    Daniel, 20
  • Von zu Hause aus verfügbar und viel billiger als ein Privatlehrer. Ich benutze es, wann immer ich will.

    Milan, 19
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