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Gebrochenrationale Funktionen – Abschlussaufgabe

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Jetzt kommt ein zusammenfassendes Beispiel, an dem alle wichtigen Schritte gut zu erkennen sind.

Eine schlechte Nachricht: Wir müssen mit einer Polynomdivision beginnen, denn der Grad des Zählers muss kleiner sein als der Grad des Nenners.

Die Polynomdivision läuft genauso ab wie die normale Division, die wir in der Grundschule gelernt haben.

Zum Beispiel 25:7=3, mit Rest 4.

Das heißt:

Genauso gehen wir auch bei der Polynomdivision vor.

Ergebnis Rest

Jetzt kommt die Polynomdivision:

Alles klar soweit.

Aber wir sind noch nicht fertig.

Das Ergebnis multiplizieren wir mit dem Divisor,

und das Ganze ziehen wir vom Dividenden ab.

Dann dividieren wir wieder und wiederholen das so lange, bis schließlich der Grad des Dividenden den Grad des Divisors unterschreitet.

Aha, jetzt ist der Grad weit genug gesunken, und wir sind fertig.

Wir integrieren die ersten beiden Terme, und dann wenden wir uns dem Bruch zu, dessen Zähler jetzt einen kleineren Grad hat als der Nenner.

Wieder einmal müssen wir den Nenner in lineare oder nicht weiter zerlegbare quadratische Faktoren zerlegen. Erst klammern wir x2 aus.

Dann schauen wir, ob der verbleibende quadratische Term in ein Produkt zerlegt werden kann. Es sieht nicht danach aus. Und zwar deswegen nicht, weil die Gleichung keine reelle Lösung hat.

x² lässt sich hingegen als Produkt ausdrücken.

Jetzt kommt die Partialbruchzerlegung.

Wenn im Nenner ein linearer Ausdruck vom Typ ax+b im Quadrat auftaucht, dann gehen wir bei der Partialbruchzerlegung so vor:

Ein Partialbruch hat den Nenner ax+b,

und der andere hat den Nenner (ax+b)².

Jetzt müssen wir nur noch die Zähler austüfteln. Der erste Bruch hat einen linearen Nenner, der Zähler muss also irgendein A sein.

Der Nenner des zweiten Bruchs ist ein linearer Ausdruck im Quadrat. Damit ist der Zähler auch hier irgendein A, aber da A bereits belegt ist, nehmen wir B.

Der dritte Bruch schließlich ist ein quadratischer Ausdruck. Der Zähler muss also vom Typ Ax+B sein. A und B sind belegt, also nehmen wir Cx+D.

Und jetzt rechnen wir A, B, C und D aus.

Wir multiplizieren mit den Nennern.

Dann lösen die Klammern auf.

Wir schauen, wie viele x3, x2, x und konstante Terme es auf der rechten Seite gibt.

Genauso viele gibt es nämlich auch auf der linken Seite.

Die ersten beiden Terme lassen sich sehr einfach integrieren.

Aus dem dritten Term wird das hier:

Der erste Term ist wie gewünscht f’/f, während der zweite Term zum Arkustangens wird.

Und schon sind wir fertig.

Zum Schluss noch ein Beispiel:

Wir müssen den Nenner in lineare oder nicht weiter zerlegbare quadratische Faktoren zerlegen. Die Zerlegung ist alles andere als trivial, denn der Nenner hat keine reelle Wurzel. Die Produktform:

Somit:

Die Terme im Nenner werden die Nenner der Partialbrüche sein. Da sich keiner der beiden quadratischen Terme zerlegen lässt, haben wir eine Summe von zwei Partialbrüchen vom Typ II vor uns:

Als Nächstes bestimmen wir A, B, C und D.

Wir multiplizieren:

dann formen wir um:

und zum Schluss lösen wir das gewohnte Gleichungssystem:

Die Lösungen: , somit

Wir werden die beiden Brüche einzeln integrieren.

Der erste Bruch:

Das läuft auf eine lineare Substitution von arctgx hinaus:

Der zweite Bruch aus Symmetriegründen:

Die Lösung der Aufgabe ist die Summe der erhaltenen Ausdrü height="41" src="file:///C:/Users/User/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image097.gif" />

Wir dürfen aber nicht vergessen, dass diese Methode – die Integration gebrochenrationaler Funktionen – nur dann sinnvoll ist, wenn alle anderen Methoden versagen. Die obige Aufgabe haben wir zum Beispiel mit Hilfe von S4 schon einmal gelöst – und zwar um einiges schneller!

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    Thomas, 23
  • Mein Bruder in der siebten Klasse hat das Ableiten gelernt, was ein ziemlicher Beweis dafür ist, dass es klar erklärt wird.

    Georg, 18
  • Dank mathxplain habe ich alle meine College-Mathematikfächer erfolgreich abgeschlossen.

    Melina, 21
  • Eine Website, die sogar einem blinden Pferd beibringen würde, sich zu integrieren.

    Regina, 26
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