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Integration verketteter Funktionen – S4

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Diese Formel bezieht sich eigentlich auf die Integration verketteter Funktionen. Mit verketteten Funktionen ist es aber leider so, dass ihre Integration meist ein hoffnungsloses Unterfangen ist.

Unter den folgenden Funktionen hat keine einzige eine Stammfunktion:

Daher können wir diese Integrale leider nicht berechnen. Und nicht weil wir heute einen schlechten Tag haben, sondern weil es schlicht nicht geht. Hoffnung besteht dann, wenn eine solche Funktion mit der Ableitung ihrer inneren Funktion multipliziert ist.

Wir merken uns einige Sonderfälle

Und hier sind ein paar Aufgaben dazu.

Manchmal braucht es ein bisschen Anstrengung, bis alles stimmt.

alak eléréséhez. [EB1]

Es gibt generell zwei Möglichkeiten.

Im einfacheren Fall weicht der Integrand nur durch eine Konstante vom erhofften Zustand ab; im schwierigeren Fall sind auch die Terme mit x unterschiedlich.

Eine abweichende Konstante lässt sich leicht korrigieren:

BEISPIELE:

Der zweite Fall ist wesentlich unangenehmer. Sehen wir uns dazu ein Beispiel an.

Auf den ersten Blick sieht das nach einer Aufgabe vom Typ

aus, aber es gibt einen kleinen Haken.

Hier sollte die Ableitung des Exponenten stehen, aber die Ableitung von x² ist 2x.

Es liegt nahe, die 2x, die dort fehlen, einfach hier zu ergänzen.

Dadurch verändern wir natürlich die Aufgabe. Damit das nicht passiert, müssen wir eine Multiplikation mit 2x durch eine entsprechende Division ausgleichen.

Jetzt haben wir mit 2x multipliziert und durch 2x geteilt, die ursprüngliche Aufgabe bleibt somit erhalten.

Dafür haben wir jetzt hier die Ableitung des Exponenten und können integrieren.

Die Frage ist nur, was wir mit diesem Teil anfangen sollen.

Wir führen eine partielle Integration durch.

Hier integrieren wir noch ein bisschen, und schon sind wir fertig.

[EB1]Nem teljes mondat, a HTML-ben nem találtam.

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    Regina, 26
  • Es macht Sinn, es macht Spaß, es ist das ganze Geld wert.

    Thomas, 23
  • Von zu Hause aus verfügbar und viel billiger als ein Privatlehrer. Ich benutze es, wann immer ich will.

    Milan, 19
  • Mein Bruder in der siebten Klasse hat das Ableiten gelernt, was ein ziemlicher Beweis dafür ist, dass es klar erklärt wird.

    Georg, 18
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