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Was ist die Integration?

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Es wird Zeit, dass wir uns die Integration vornehmen. Und zwar gleich zwei Arten davon: die bestimmte und die unbestimmte Integration.

Die bestimmte Integration befasst sich mit der Berechnung von Flächen unterhalb von Funktionskurven.

Hier ist eine Funktion:

Der Flächeninhalt zwischen a und b unterhalb der Funktionskurve beträgt:

Die unbestimmte Integration funktioniert ganz anders.

Unbestimmt heißt sie deswegen, weil es keine a- und b-Grenzen für die Integration gibt – stattdessen integrieren wir einfach so darauf los:

Das unbestimmte Integral von f(x) ist eine Funktion, die als Stammfunktion bezeichnet wird.

Die Stammfunktion heißt F(x) und hat die Eigenschaft, dass sie abgeleitet wieder f(x) ergibt.

Die unbestimmte Integration ist damit nichts anderes als die Umkehrung der Ableitung (Differenzierung).

Deswegen nennt man sie manchmal auch Antidifferenzierung.

Sehen wir uns einige Beispiele an.

Etwa das hier:

Wir brauchen eine Funktion, deren Ableitung 2x ist.

Eine solche Funktion gibt es, sie heißt

Hier ist die nächste Funktion:

Es gibt auch eine Funktion mit der Ableitung

Erinnern wir uns noch daran?

Von Absolutbeträgen haben wir schon mal gehört, also macht es uns nichts aus, dass wir den Betrag auch hier brauchen. Der Grund ist, dass wir die Funktion

auch für negative x-Werte integrieren wollen.

lnx verträgt sich aber nur mit positiven x-Werten, und genau dieses kleine Problem lösen wir mit dem Betrag.

Aber es genügt, wenn wir uns merken, dass

Zum Schluss noch eins:

Welche Funktion ergibt differenziert x²?

Das kommt fast hin – wir müssen es nur noch durch 3 teilen.

Eine Sache noch. Wenn wir x² differenzieren, erhalten wir natürlich 2x, aber

Nach x² kann also eine beliebige Konstante stehen.

Und hier auch, und hier ebenfalls.

Jetzt wollen wir mal sehen, welche Verbindung es zwischen der bestimmten und der unbestimmten Integration gibt.

Der Satz, der diese Verbindung beschreibt, ist eines der wichtigsten Theoreme der gesamten Mathematikgeschichte.

Der englische Physiker Newton und der deutsche Philosoph Leibniz kamen Ende des 17. Jahrhunderts gleichzeitig darauf.

Wenn f(x) im Intervall [a,b] integriert werden kann und in diesem Intervall eine Stammfunktion hat, dann

Das hier bezeichnet die Änderung der Stammfunktion, das heißt, wir müssen zuerst b einsetzen und daraus dann die Funktion nach Einsetzen von a abziehen.

Probieren wir aus, wie die Formel konkret funktioniert. Berechnen wir zum Beispiel die Fläche unterhalb der Kurve x² zwischen den Punkten 0 und 1.

Hier ist die Stammfunktion. Wir brauchen ihre Veränderung zwischen 0 und 1.

Ein Problem gibt es nur, wenn wir keine Stammfunktion finden.

Berechnen wir zum Beispiel die Fläche unterhalb der Kurve

zwischen 0 und 1.

Wir schreiben auf, was wir integrieren müssten – bis dahin alles easy.

Aber dass wir keine Ahnung haben, was die Stammfunktion sein könnte, ist schon ein Problem.

Die Schwierigkeit liegt offensichtlich in der Suche nach Stammfunktionen, also in der unbestimmten Integration.

Es wird daher Zeit, dass wir unsere Fähigkeiten in dieser Hinsicht etwas erweitern.

Die Suche nach Stammfunktionen beginnen wir damit, dass wir uns die Ableitung einiger wichtiger Funktionen in Erinnerung rufen.

Nehmen wir gleich die Funktion xn:

Beim Differenzieren nimmt der Exponent um 1 ab. Beim Integrieren nimmt der Exponent um 1 zu.

Das lässt uns kurz stutzen:

Aber keine Bange, die Lösung ist schon unterwegs.

Dann kommt ein Musterbeispiel an Beständigkeit.

Die Liste wird lang.

Und das ist erst der Anfang. Zunächst müssen wir aber einige wichtige Dinge klären.

Hier ist das erste:

aber

Und hier ist das zweite:

Was könnte das sein?

Es scheint logisch, dass

Ein kleines Problem gibt es aber noch.

Die Integration ist die Umkehrung der Differenzierung. Wenn wir also eine Funktion integrieren und dann differenzieren, müssen wir exakt die ursprüngliche Funktion erhalten. Hier ist das aber nicht der Fall.

Wir bekommen nicht die ursprüngliche Funktion zurück, weil beim Differenzieren dieser Faktor 3 auftaucht.

Aber wir wissen uns zu helfen: Wir teilen durch 3.

Wenn im Exponenten ein Ausdruck vom Typ ax+b auftaucht,

dann multiplizieren wir beim Integrieren mit

Nehmen wir zum Beispiel das hier:

Hier steht der Ausdruck ax+b nicht im Exponenten, sondern im Nenner.

Diese Methode werden wir häufig benötigen, wir sollten sie uns daher gut merken.

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