Dann haben wir hier noch eine weitere quadratische Form:
Wir wollen zwei Vektoren finden,
einen Vektor , für den
und einen Vektor , für den
Auch hier ist es leicht, einen Vektor zu finden, für den die quadratische Form positiv ist.
Auf einen negativen Wert zu kommen ist schon schwieriger.
Probieren wir es mal damit:
Das ist nicht nur schwierig, sondern sogar unmöglich.
Diese quadratische Form kann also positiv und negativ sein.
Diese quadratische Form hingegen kann nur negativ sein.
Wir werden uns nun mit diesen interessanten Eigenschaften der quadratischen Formen beschäftigen.
Die Form ist
positiv definit, wenn für jeden Vektor
gilt:
negativ definit, wenn für jeden Vektor
gilt:
positiv semidefinit, wenn für jeden Vektor
gilt:
negativ semidefinit, wenn für jeden Vektor
gilt:
indefinit, wenn es und gibt,
für die gilt: und
Bei der Bestimmung der Definitheit hilft uns die Matrix der quadratischen Form.
wenn die Matrix der quadratischen Form positiv definit ist
wenn die Matrix der quadratischen Form negativ definit ist
wenn die Matrix der quadratischen Form positiv semidefinit ist
wenn die Matrix der quadratischen Form negativ semidefinit ist
wenn die Matrix der quadratischen Form indefinit ist
Wir haben hier eine quadratische Form, und wir wollen ihre Definitheit bestimmen.
Sehen wir uns die Matrix an!
Jetzt müssen wir nur noch bestimmen, welche Definitheit die Matrix der quadratischen Form hat.
Dazu sehen wir uns die führenden Hauptminoren an.
Erster führender Hauptminor:
3
Zweiter führender Hauptminor:
Dritter führender Hauptminor:
ganz klar 13
Es scheint sich um eine positiv definite Matrix zu handeln, und somit ist auch die quadratische Form positiv definit.
Sehen wir uns einen weiteren Fall an.
Wir haben hier eine andere quadratische Form, deren Definitheit wir bestimmen wollen.
Jetzt müssen wir nur noch bestimmen, welche Definitheit die Matrix der quadratischen Form hat.
Dazu brauchen wir die führenden Hauptminoren.
Erster führender Hauptminor:
–5
Zweiter führender Hauptminor:
Dritter führender Hauptminor:
Das scheint eine negativ definite Matrix zu sein, und somit ist auch die quadratische Form negativ definit.
Tutorial Technische Mathematik 2.