Das homogene lineare Gleichungssystem hat nur eine Lösung (die triviale Lösung)

DIE MATRIX IST SINGULÄR

ES EXISTIERT KEINE INVERSE MATRIX

RANG<n

Das Vektorsystem aus den Spaltenvektoren von ist linear abhängig

Das Gleichungssystem hat entweder unendlich viele Lösungen oder gar keine

Das homogene lineare Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen

Hier ist zum Beispiel diese Matrix:

Bestimmen wir, für welchen Parameter die Matrix eine Inverse hat, für welchen Parameter ihre Determinante 0 ist, und für welchen Parameter das Gleichungssystem

unendlich viele Lösungen hat.

Wir können alle Fragen auf einen Schlag beantworten, wenn wir die Determinante der Matrix berechnen.

Eine Inverse gibt es dann, wenn die Matrix regulär ist, wenn ihre Determinante also nicht null ist:

Die Determinante ist dann null, wenn

Und schließlich hat das Gleichungssystem dann unendlich viele Lösungen, wenn die Matrix singulär ist, das heißt wenn ihre Determinante null ist:

EIGENWERT UND EIGENVEKTOR

Jetzt folgen zwei spannende Definitionen, die einander sehr ähnlich sind. Gemeinsam ist ihnen auch, dass man sich erst mal fragt, wozu sie eigentlich gut sind.

EIGENWERT: Der Eigenvektor der Matrix ist ein von Null verschiedener Vektor , für den es eine reelle Zahl gibt, sodass Folgendes gilt:

EIGENVEKTOR: Der Eigenwert der Matrix ist eine reelle Zahl , für die es einen vom Nullvektor verschiedenen Vektor gibt, sodass Folgendes gilt:

Aber keine Sorge, ein konkretes Beispiel macht alles viel klarer.

Wir haben hier diese wundervolle -Matrix:

Wir wollen jetzt wissen, ob zum Beispiel die Vektoren und Eigenvektoren dieser Matrix sind.

Wir beginnen mit dem Vektor . Damit er ein Eigenvektor ist, muss es eine Zahl geben, für die

Ein solches gibt es aber leider nicht.

Wenn nämlich , dann stimmt die 9 nicht, und wenn , dann stimmt die 3 nicht.

Wir können es natürlich auch mit weiteren Zahlen probieren. Dann bekommen wir weder 3 noch 9 heraus. Somit ist also der Vektor kein Eigenvektor der Matrix .

Sehen wir uns jetzt den Vektor an. Damit er ein Eigenvektor ist, muss es eine Zahl geben, für die

Ein solches gibt es tatsächlich: . Der Vektor ist also ein Eigenvektor der Matrix , und der dazugehörige Eigenwert ist . Als Nächstes gehen wir der Frage nach, wie wir alle Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix finden können.

Wir werden eine allgemeingültige Methode zur Berechnung von Eigenvektoren und Eigenwerten entwickeln, deren Kern darin besteht, dass

Wir lösen nach null auf.

Wir klammern den Vektor aus.

Hier gibt es ein kleines Problem.

ergibt nicht viel Sinn, denn das eine ist eine Matrix, und das andere eine Zahl, wie wollen wir da subtrahieren?