Barion Pixel Was ist die Determinante? | MATHEKING
 
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MATRIZEN: DETERMINANTE, EIGENWERT UND EIGENVEKTOR

DEFINITION: Wenn eine -Matrix ist, dann ist ihre Determinante

p steht dabei fĂĽr die Permutationen der Spaltenindizes und I(p) fĂĽr die Inversionszahl dieser Permutationen.

Das ist eine ganz hervorragende Definition, sollte aber noch ein bisschen erläutert werden.

In Wirklichkeit ist das Konzept der Matrixdeterminante ganz einfach.

Es geht darum, dass wir aus jeder Zeile und jeder Spalte der Matrix genau ein Element auswählen und diese Elemente miteinander multiplizieren. Wir machen das in jeder möglichen Kombination, dann versehen wir die Produkte mit einem Vorzeichen, und schließlich addieren wir die vorzeichenbehafteten Produkte.

DETERMINANTE EINER 2Ă—2-MATRIX

Sehen wir uns dazu ein Beispiel an. Hier ist eine Matrix:

Ihre Determinante ist

Die Determinante hat also die Eigenschaft, dass sie jede Matrix auf eine Zahl reduziert.

Bald erfahren wir auch, wozu das gut ist, aber zuerst wollen wir die Determinante einer 3Ă—3-Matrix berechnen.

DETERMINANTE EINER 3Ă—3-MATRIX

Die Determinante einer 3×3-Matrix können wir mit der sogenannten Regel von Sarrus berechnen.

Diese Regel funktioniert so, dass wir die Matrix einfach zweimal hintereinander aufschreiben und dann mit den Hauptdiagonalen und den Nebendiagonalen ein bisschen herumrechnen.

Wir multiplizieren die Elemente auf den Hauptdiagonalen und geben ihnen ein positives Vorzeichen. Dann multiplizieren wir auch die Elemente der Nebendiagonalen, allerdings bekommen diese ein negatives Vorzeichen.

Das ist die Determinante der Matrix.

Leider funktioniert die Methode nur bei 3×3-Matrizen und selbst da macht sie nur mäßig Spaß.

Sinnvoller ist es, wenn wir uns stattdessen den sogenannten Entwicklungssatz merken, der mit jeder nĂ—n-Matrix klarkommt und den wir gleich kennenlernen werden.

DER ENTWICKLUNGSSATZ

Wenn eine -Matrix ist, dann ist ihre Determinante

ist hier die Unterdeterminante des Elements .

Keine Panik, in der Praxis funktioniert das viel einfacher.

Sehen wir uns gleich ein Beispiel an.

Hier ist diese 3Ă—3-Matrix:

Wir wollen ihre Determinante berechnen, und zwar entwickeln wir sie nach der ersten Zeile.

Wir können sie aber genauso gut nach der zweiten Zeile entwickeln. Gleich machen wir das auch und vergleichen dann die Ergebnisse, die hoffentlich identisch sein werden.

Die Elemente der ersten Zeile erhalten wechselnde Vorzeichen, und zwar durch

Noch einfacher wird es, wenn wir uns die sogenannte Schachbrettregel merken.

Die Unterdeterminante sehen wir uns gleich auch noch an!

Aufgrund der Schachbrettregel bekommt das zweite Element ein negatives Vorzeichen.

Das dritte Element erhält dann wieder ein positives Vorzeichen.

Nun kommen die Unterdeterminanten. Diese bekommen wir, indem wir die Zeile und die Spalte des jeweiligen Elements weglassen.

Dann berechnen wir die Determinanten der resultierenden 2Ă—2-Matrizen.

Das war’s.

Was wird wohl passieren, wenn wir nach der zweiten Zeile entwickeln?

Wenn wir nach der zweiten Zeile entwickeln, mĂĽssen wir uns auch bei der Schachbrettregel an die zweite Zeile halten.

Wir können aber auch nach der dritten Zeile oder sogar nach Spalten entwickeln.

Das wollen wir gleich ausprobieren und entwickeln nach der dritten Spalte.

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