Erzeugbarkeit von Vektoren

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Wenn wir aus einem unabhängigen System einen oder mehrere Vektoren entfernen,

erhalten wir ein unabhängiges System

(wenn wir Vektoren hinzufügen, ist der Ausgang offen)

Wenn wir zu einem Erzeugendensystem einen oder mehrere Vektoren hinzufügen,

erhalten wir ein Erzeugendensystem

(wenn wir Vektoren entfernen, ist der Ausgang offen)

Gibt es in n linear unabhängige Vektoren, dann bilden diese auch ein Erzeugendensystem

(da sie eine Basis sind)

Gibt es in ein aus n Vektoren bestehendes Erzeugendensystem, dann sind diese Vektoren linear unabhängig

(da sie eine Basis sind)

Die Basis erzeugt alle Vektoren auf eindeutige Weise. Erzeugendensysteme hingegen, die in aus mehr als n Vektoren bestehen, können jeden Vektor auf unendlich vielen Weisen erzeugen.

Vorhin haben wir uns mit der Frage befasst, was es bedeutet, wenn ein Vektorsystem linear unabhängig oder linear abhängig ist.

Dann haben wir uns mit Erzeugendensystemen beschäftigt.

Wir haben festgestellt, dass wir wieder ein Erzeugendensystem erhalten, wenn wir einem Erzeugendensystem einen oder mehrere Vektoren hinzufügen. Wenn wir dagegen Vektoren entfernen, wird unser System früher oder später kein Erzeugendensystem mehr sein.

Wir haben auch festgestellt, dass wir wieder ein linear unabhängiges System erhalten, wenn wir aus einem linear unabhängigen System einen oder mehrere Vektoren entfernen. Wenn wir hingegen Vektoren hinzufügen, werden die Vektoren früher oder später linear abhängig sein.

All dies können wir im Vektorraum , das heißt im Raum im alltäglichen Sinn des Wortes, anschaulich darstellen.

Wenn wir anfangen, einem linear unabhängigen System neue Vektoren hinzuzufügen, erhalten wir früher oder später ein linear abhängiges System.

Wenn wir aus einem Erzeugendensystem Vektoren entfernen, ist das System früher oder später kein Erzeugendensystem mehr.

Und es gibt einen magischen Punkt, an dem wir bereits genug Vektoren haben, um alle Vektoren zu erzeugen, aber noch nicht so viele, dass sie nicht mehr linear unabhängig sind.

Dieses linear unabhängige Erzeugendensystem nennen wir Basis.

Und die Elementanzahl der Basis ist die Dimension des Vektorraums.

Jetzt kommen wir zu einem weiteren wichtigen Begriff: dem Rang.

Der Rang eines Vektorsystems ist die Maximalanzahl der linear unabhängigen Vektoren, die es enthalten kann.

kann zum Beispiel maximal drei unabhängige Vektoren haben.

Später werden wir ganz tolle Methoden zur Berechnung des Rangs haben, aber vorerst müssen wir uns mit der wenig definitiven Methode des Augenscheins begnügen.

Hier ist zum Beispiel dieses Vektorsystem:

Der vierte Vektor ist das Zweifache des ersten, also haben wir bestenfalls drei linear unabhängige Vektoren.

Und der dritte Vektor ist die Summe der ersten beiden, also bleiben nur noch zwei linear unabhängige Vektoren.

Diese sind tatsächlich linear unabhängig, also beträgt der Rang 2. Später werden wir uns eine wirklich großartige Technik zur Rangberechnung zulegen.

Der Rang eines Vektorsystems

Jetzt kommen wir zu einem weiteren wichtigen Begriff: dem Rang.

Der Rang eines Vektorsystems ist die Maximalanzahl der linear unabhängigen Vektoren, die es enthalten kann.

BASIS = LINEAR UNABHÄNGIGES ERZEUGENDENSYSTEM

Die Vektoren sind linear unabhängig, wenn

nur dann erfüllt ist, wenn jeder

Die Vektoren sind linear abhängig, wenn

auch dann erfüllt ist, wenn manche

Im Vektorraum V bilden die Vektoren ein Erzeugendensystem,

wenn jeder Vektor in der Form

erzeugt werden kann.

Nehmen wir die Vektoren .

Welche der folgenden Aussagen trifft zu?

Wenn linear unabhängig sind, dann sind

ebenfalls linear unabhängig.

Schauen wir, ob linear unabhängig sind.

Schreiben wir sie in einer Linearkombination auf:

Wenn dies nur erfüllt ist, wenn allesamt null sind, dann sind die Vektoren linear unabhängig. Wenn es auch dann geht, wenn nicht alle Koeffizienten auf null gesetzt werden, dann sind die Vektoren linear abhängig.

Die Frage ist also, welchen Wert haben.

Wir lösen die Klammern auf:

Dann zählen wir, wie viel Stück wir von , und haben.

Da die ursprünglichen Vektoren linear unabhängig sind, sind alle Koeffizienten mit Sicherheit null, das heißt

Es scheint, dass allesamt null sind, das heißt, sind linear unabhängig.

Wenn ein Erzeugendensystem ist,

dann ist auch eines.

Die Vektoren sind dann ein Erzeugendensystem,

wenn sie alle Vektoren erzeugen:

Die Frage ist, ob diese auch durch die Vektoren erzeugt werden können. Probieren wir es aus.

Wir lösen die Klammern auf:

Dann zählen wir, wie viel Stück wir von , und haben.

Es scheint, dass tatsächlich erzeugt werden kann.

Wenn linear unabhängig sind, dann sind

ebenfalls linear unabhängig.

Das stimmt ganz sicher nicht, denn

Das heißt, sie haben eine Linearkombination, die den Nullvektor ergibt, obwohl wir keinen der Vektoren mal null genommen haben.

Wenn linear unabhängig sind, dann sind

ebenfalls linear unabhängig.

Schauen wir, ob linear unabhängig sind.

Schreiben wir sie dazu in einer Linearkombination auf:

Wenn dies nur erfüllt ist, wenn beide null sind, dann sind die Vektoren linear unabhängig. Wenn es auch dann geht, wenn einer nicht null ist, dann sind die Vektoren linear abhängig.

Die Frage ist also, welchen Wert haben.

Wir lösen die Klammern auf:

Dann zählen wir, wie viel Stück wir von , und haben.

Da die Vektoren linear unabhängig sind, sind alle Koeffizienten mit Sicherheit null, das heißt und . Das wiederum bedeutet, dass auch linear unabhängig sind.

Wenn linear unabhängig sind,

dann sind auch linear unabhängig.

Diesmal gehen wir von der Linearkombination

aus.

Hoppla, du bist ja nicht angemeldet. Es tut uns leid. Wir haben noch interessante Dinge für dich.

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