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Vektorräume
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VEKTORRÄUME

Es wird Zeit, einige wichtige Begriffe zu klären.

Der erste und wichtigste Begriff ist der Vektorraum. Dabei handelt es sich im Grunde um eine Menge, die Vektoren mit bestimmten Eigenschaften enthält.

Wir definieren zwei Arten von Operationen (Verknüpfungen): die Addition und die Multiplikation mit einer Zahl.

Bei der Addition summieren wir Vektoren, während bei der Multiplikation ein Vektor mit einer Zahl multipliziert wird.

Diese Zahlen können reelle Zahlen sein, dann haben wir einen Vektorraum über den reellen Zahlen, es können aber auch komplexe Zahlen sein, und dann haben wir einen Vektorraum über den komplexen Zahlen.

Außer diesen beiden gibt es keine weiteren Operationen im Vektorraum. Es sind also weder die Multiplikation von Vektoren miteinander noch das Skalarprodukt oder das dyadische Produkt definiert.

In Bezug auf diese beiden Operationen müssen noch weitere Eigenschaften erfüllt werden, die als Vektorraum-Axiome bezeichnet werden. Um diese geht es jetzt.

Die nicht-leere Menge ist ein Vektorraum über den reellen Zahlen, wenn

für die Menge eine Addition genannte Verknüpfung definiert ist, die allen Vektoren und in der Menge einen Vektor zuordnet, der ebenfalls Teil der Menge ist.

1. Die Addition ist kommutativ: Für alle Vektoren ; in gilt:

2. Die Addition ist assoziativ: Für alle Vektoren ; ; in gilt:

3. Es gibt ein neutrales Element (Nullvektor): enthält einen Vektor , der mit jedem Vektor in so verknüpft werden kann, dass

4. Es gibt ein inverses Element: Für jeden Vektor in existiert ein Vektor in , für den gilt:

und es ist eine Verknüpfung namens Skalarmultiplikation (Skalierung) definiert, die jeder Kombination aus einem Vektor in und einer reellen Zahl einen Vektor zuordnet, der ebenfalls Teil der Menge ist.

5. Die Skalierung ist assoziativ: Für jeden Vektor in und jeden Skalar ; gilt

6. Die Skalierung ist distributiv in Bezug auf die Vektoren: Für jeden Vektor ; in und jeden Skalar gilt

7. Die Skalierung ist distributiv in Bezug auf die Skalare; für jeden Vektor in und jeden Skalar ; gilt:

8. Die Skalierung hat das neutrale Element 1: Für jeden Vektor in und die reelle Zahl 1 gilt:

Den Vektorraum über den reellen Zahlen bezeichnen wir in der Regel als , wobei n für die Anzahl der Vektorkoordinaten steht.

Vektoren können in der Ebene mit zwei Koordinaten angegeben werden. Somit ist jede Ebene ein -Vektorraum.

Räumliche Vektoren haben drei Koordinaten, damit ist der dreidimensionale Raum ein -Vektorraum.

Es gibt natürlich auch Vektoren mit mehr als drei Koordinaten, aber ihre geometrischen Entsprechungen können wir uns in unserer jämmerlichen dreidimensionalen Welt schwer vorstellen.

Es lohnt sich jedoch zu wissen, dass Vektoren in der Ebene nicht zwingend nur zwei Koordinaten haben müssen.

Wir können sie auch mit drei oder sogar vier Koordinaten angeben – nur sind dann einige Koordinaten null. Die Anzahl der Koordinaten schafft also nur die Möglichkeit für neue Richtungen.

Dies führt uns zu zwei wichtigen Begriffen: Einer ist die Dimension und der andere ist der Untervektorraum.

Beim Untervektorraum geht es darum, dass wir nicht alle Koordinaten der Vektoren ausnutzen, während die Dimension die Höchstzahl der nutzbaren Koordinaten bezeichnet.

Zum Beispiel bilden in die Vektoren, deren dritte Koordinate null ist, einen Untervektorraum, und zwar einen zweidimensionalen, da wir zwei Koordinaten nutzen.

All dies werden wir noch viel präziser und mathematischer ausdrücken können, sobald wir uns einige Schlüsselbegriffe erarbeitet haben.

Genau das wollen wir jetzt tun.

LINEAR UNABHÄNGIGE UND LINEAR ABHÄNGIGE VEKTOREN

Beginnen wir mit zwei spannenden Definitionen. Zuerst wollen wir sehen, worum es genau geht, und dann nehmen wir uns gleich einige Beispiele vor, die das Ganze verständlich machen.

Die Vektoren sind linear unabhängig, wenn

nur dann erfüllt ist, wenn jeder

Die Vektoren sind linear abhängig, wenn

auch dann erfüllt ist, wenn manche

Sehen wir uns dazu einige Beispiele an! Nehmen wir mal diese Vektoren:

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