Aufgabe | Lokale Extrema und Sattelpunkte bestimmen

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Extremwerte sind an Punkten möglich, an denen die Ableitung null ist.

Das sind die sogenannten stationären Punkte.

Wir bekommen sie durch Lösen dieses Gleichungssystems.

Jetzt brauchen wir aber noch eine Gleichung.

Die Nebenbedingung.

Ein Produkt ist dann null, wenn einer der Faktoren null ist.

Wenn x=0 ist, haben wir ein kleines Problem.

In diesem Fall ist nämlich auch y null.

Die Nebenbedingung ist damit nicht erfüllt.

Den Fall x=0 können wir somit ausschließen.

Übrig bleibt noch der andere Fall.

Weiter geht es mit den stationären Punkten.

Und jetzt geht es an die Ableitungen zweiter Ordnung.

Zum Schluss wollen wir noch sehen, welcher Wert ein Minimum und welcher ein Maximum ist.

Wir nehmen die übliche Methode …

bed. Maximum

bed. Minimum

Sehen wir uns noch eine Aufgabe an.

Aber keine Sorge, diese wird viel kürzer sein.

Wir suchen den bedingten Extremwert dieser Funktion:

Hier ist die Nebenbedingung:

Wir brauchen wieder die Lagrange-Multiplikatoren:

Dann lösen wir das Gleichungssystem:

Es scheint einen einzigen stationären Punkt zu geben:

Und jetzt geht es an die Ableitungen zweiter Ordnung.

Und die letzte Frage: Minimum oder Maximum?

Es scheint sich um ein bedingtes Maximum zu handeln.

Und schon sind wir fertig.

Vielleicht erinnern wir uns noch an die geometrische Bedeutung der Ableitung: Bei Funktionen mit einer Variable entspricht sie der Steigung der Tangente.

Die Gleichung der Tangente, die die Funktion im Punkt berührt:

Die Tangente einer Funktion mit einer Variable ist eine Gerade; die Tangente einer Funktion mit zwei Variablen ist eine Ebene.

Es gibt eine Koordinate mehr, also nicht nur x und y, sondern x, y und z.

 

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