Aufgabe | Lokale Extrema und Sattelpunkte bestimmen

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Wenn eine implizite Funktion ist, dann lautet gemäß der Regel ihre Ableitung:

Das sieht zunächst nicht sehr ermutigend aus, aber probieren wir es mal in der Praxis aus.

Hier haben wir eine implizite Funktion:

Diese lösen wir nach null auf

und taufen sie auf den Namen F.

Bevor wir einem fatalen Irrtum aufsitzen, stellen wir gleich klar, dass hier keine Funktion mit zwei Variablen, sondern eine implizite Funktion ist.

Es gibt nämlich einen riesigen Unterschied zwischen und .

Sehen wir uns den Unterschied einmal an.

ist wirklich eine Funktion mit zwei Variablen. x und y können frei gewählt werden, aber

hat keine zwei Variablen, wie uns gleich klar wird, wenn wir x=0 und y=0 setzen.

2=0 kann nicht stimmen. Das heißt: Hier ist entweder nur x oder nur y frei wählbar, aber nicht beide. Somit hat die Funktion nur eine Variable.

Nachdem wir das nun geklärt haben, zücken wir unsere Formel.

Gemäß der Formel für die implizite Ableitung müssen wir die Funktion mit der üblichen partiellen Ableitung nach x und y ableiten.

Und hier ist die implizite Ableitung.

Das Ergebnis ist wie zuvor, aber die Berechnung war jetzt viel einfacher.

Das ist also der Sinn der Regel für die implizite Ableitung.

Die Regel funktioniert auch bei mehr Variablen.

Wenn eine implizite Funktion mit einer Variablen ist, dann lautet ihre Ableitung:

Wenn eine implizite Funktion mit n Variablen ist, dann lautet die Ableitung der impliziten Funktion nach der Variable :

Sehen wir uns dazu ein Beispiel an.

Dies ist eine implizite Funktion mit zwei Variablen.

Sie enthält zwar drei Buchstaben, x, y und z, aber wegen der Gleichheitsbedingung können nur zwei von ihnen frei gewählt werden.

 

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