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Funktionen mit zwei Variablen, partielle Ableitung

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ABLEITUNG UND LOKALE EXTREMA VON MULTIVARIATEN FUNKTIONEN

Bei Funktionen mit zwei Variablen geht es darum, zwei reellen Zahlen eine dritte reelle Zahl zuzuordnen.


Wir können auch sagen, dass wir einem Zahlenpaar eine dritte Zahl zuordnen.

Diese Zahlenpaare können wir zum Beispiel als Punktkoordinaten in einer Ebene betrachten.

Eine Funktion mit zwei Variablen ordnet den Punkten dieser Ebene eine dritte Koordinate zu – die Höhe.

Indem wir jedem Punkt des Definitionsbereichs diese dritte Koordinate (die Höhe) zuordnen, entsteht oberhalb der Ebene x,y eine Fläche: Das ist unsere Funktion.

Manche Eigenschaften der Funktionen mit einer Variablen werden von den Funktionen mit zwei Variablen geerbt – andere wiederum nicht.

Bei zwei Variablen ergibt zum Beispiel der Begriff der Monotonie keinen Sinn, denn bei einer Fläche wäre es schwierig zu entscheiden, ob sie gerade steigt oder fällt.

Das Konzept von Minimum und Maximum hingegen lässt sich übertragen.

Das Maximum einer Funktion mit zwei Variablen können wir uns als Berggipfel und das Minimum als Tal vorstellen.

Sehen wir uns jetzt einige Funktionen mit zwei Variablen an.

LOKALES MINIMUM

SATTELPUNKT

LOKALES MAXIMUM

Unsere Aufgabe wird es sein, herauszufinden, wo das Minimum, das Maximum oder der Sattelpunkt der Funktionen mit zwei Variablen liegt.

Wie bei Funktionen mit nur einer Variable müssen wir auch hier ableiten. Da wir hier die zwei Variablen x und y haben, werden wir sowohl nach x als auch nach y ableiten – das verspricht doppelten Spaß.

Diese Ableitungen nennen wir partielle Ableitungen.

Sehen wir uns jetzt diese partiellen Ableitungen an.

 

Funktionen mit zwei Variablen, partielle Ableitung

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