Sehen wir mal, was komplexe Zahlen sind.

Dazu unterhalten wir uns ein bisschen über Zahlen im Allgemeinen.

Das zum Beispiel ist 3.

Und das ist 4.

Und leider brauchen wir manchmal auch negative Zahlen.

Hin und wieder benötigen wir Zahlen, die Verhältnisse ausdrücken.

Diese nennen wir rationale Zahlen.

Zum Beispiel die Lösung dieser Gleichung:

Es gibt auch Gleichungen, deren Lösungen nicht rationale Zahlen sind.

Und so kommen wir zu den irrationalen Zahlen. Diese füllen auf der Zahlengeraden die Lücken zwischen den rationalen Zahlen.

Und damit sind wir bei den reellen Zahlen angekommen. Jeder Punkt auf der Zahlengeraden ist eine reelle Zahl.

Aber in einigen Fällen – vor allem, wenn es um Physik geht – brauchen wir Zahlen, die ganz besondere Dinge können.

Zum Beispiel das:

Auf Anhieb fallen uns nicht viele Zahlen ein, die so etwas können, denn bekanntlich gilt

Diese seltsamen Zahlen nennen wir „imaginäre Zahlen“.

Da die reellen Zahlen bereits die gesamte Zahlengerade besetzt haben, können wir die imaginären Zahlen nur auf einer eigenen, im rechten Winkel angeordneten Achse unterbringen.

Die Einheit der imaginären Achse ist .

Und die wichtigste Eigenschaft von ist: .

Die Zahlen, die sich aus reellen und imaginären Zahlen zusammensetzen, nennen wir komplexe Zahlen.

Die komplexen Zahlen sind also Zahlen in der Form , die auf der sogenannten komplexen Zahlenebene dargestellt werden.

Wir haben hier zwei komplexe Zahlen:

Wie können wir diese beiden Zahlen addieren oder multiplizieren?

Bei der Addition zählen wir einfach die reellen Teile und die imaginären Teile zusammen.

Die Multiplikation ist schon etwas spannender.

Aber .

Am lustigsten ist aber die Division.

Und genau das ist unser nächstes Thema.

Die Idee der komplexen Zahlen entsprang aus unserer Frustration, dass die Gleichung

keine Lösung im Bereich der reellen Zahlen hat.

Wir hätten das Problem mit einem Schulterzucken abtun können – aber es stellte sich heraus, dass eine Lösung insbesondere bei physikalischen Fragen sehr nützlich wäre.

So kamen die imaginären Zahlen ins Spiel.

Ihre Heimat ist die imaginäre Achse, die senkrecht zur reellen Zahlengeraden ausgerichtet ist.

Ihre wichtigste Eigenschaft ist

.

Die aus reellen und imaginären Zahlen in der Form zusammengesetzten Zahlen nennen wir komplexe Zahlen.

Und jetzt sehen wir mal, welche Rechnungen mit komplexen Zahlen möglich sind.

Es gibt hier noch etwas Besonderes: die Konjugierte.

Die Konjugierte der komplexen Zahl ist .

Die Konjugation ist also eine Abbildung auf der reellen Achse.

Perfekt – jetzt können wir uns die Multiplikation vornehmen.

Die Division wird spannend.

Wir versuchen, aus dem Nenner zu loszuwerden.

Dazu nehmen wir seine Konjugierte zur Hilfe.

Dieser kleine Trick mit der Konjugierten funktioniert immer.

Wenn wir eine komplexe Zahl mit ihrer Konjugierten multiplizieren, erhalten wir immer eine reelle Zahl:

Dasselbe passiert auch, wenn wir sie addieren: