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Lustige Doppelintegrale

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Integrieren wir also die Funktion über dieses Gebiet.

Mithilfe der Doppelintegrale können wir das Volumen unter verschiedenen Flächen berechnen.

Spannend wird es dann, wenn wir über ein Gebiet integrieren, das durch Funktionen mit einer Variable berandet wird.

Nehmen wir zum Beispiel das hier. Die Grenzen für x sind und ,

und die Grenzen für y sind zwei Funktionen: und

Diese Funktionen können zum Beispiel Parabeln sein …

oder auch Funktionen, die einen Kreis beschreiben.

Einen Kreis mit dem Radius 2.

Wie war nochmal die Gleichung des Kreises:

Für gilt dann:

Wenn wir wissen wollen, wie die Berandungsfunktionen aussehen, müssen wir hier nach y auflösen.

Integrieren wir die Funktion über diesen Kreis.

Es sieht nicht sonderlich gut aus.

Das größte Problem bei dieser Integration ist, dass sie schwierig ist. Und schwierig ist sie deswegen, weil sie hässliche Wurzelausdrücke enthält.

Schuld an den Wurzelausdrücken ist wiederum der Kreis.

Zum Glück gibt es genau für diese Kreisfälle eine großartige Methode, die das Integrieren unglaublich vereinfacht.

Es handelt sich um eine Art Substitutionsverfahren, das genau auf die Eigenschaften des Kreises zugeschnitten ist.

Bei der Methode geht es darum, dass wir im Kreis statt der herkömmlichen x/y-Koordinaten neue Koordinaten einführen.

Die eine Koordinate gibt an, wie weit wir vom Kreismittelpunkt entfernt sind; wir nennen sie r.

Die andere Koordinate ist ein Drehwinkel, genannt … Theta, das geschrieben so aussieht:

Die neuen Koordinaten heißen Polarkoordinaten und die Methode heißt Polarkoordinatensubstitution.

Die Beziehung zwischen alten und neuen Koordinaten ist wie folgt:

Wir erhalten alle Punkte des Kreises, wenn den gesamten Kreis durchläuft,

von 0 bis …

während r das Intervall von 0 bis 2 durchläuft.

Die Polarkoordinatensubstitution führt zu grundlegenden Änderungen beim Integrieren.

Die Substitution erfolgt nach dieser Formel:

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