Aufgabe | Lokale Extrema und Sattelpunkte bestimmen

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Sehen wir uns die Jacobi-Matrix an:

Und jetzt kommen wir zu den stationären Punkten.

Wir beginnen mit dem Punkt .

Für x, y und z setzen wir 0 ein:

Das ist indefinit, also ist ein Sattelpunkt.

Und jetzt sehen wir uns den Punkt an.

Für x und y wird 1 und für z wird 0 eingesetzt:

Das ist positiv definit, also ein lokales Minimum.

cax2vari04

Jetzt kommt etwas ganz Spannendes.

Hier ist diese Funktion mit zwei Variablen …

Und hier ist ein Kreis, den wir jetzt auf der Oberfläche der Funktion ablegen.

Der so entstandene gekrümmte Kreis hat auf dieser Oberfläche zwei Minima.

Und zwei Maxima.

Diese nennen wir bedingte Extremwerte.

Bedingter Extremwert bedeutet, dass diese Punkte normalerweise keine Extremwerte sind, wenn wir nur die Oberfläche der Funktion betrachten …

Sie sind aber Extremwerte, wenn wir die Nebenbedingung berücksichtigen.

Wir betrachten gerade die Funktion

Und die Nebenbedingung lautet:

Und jetzt wollen wir die bedingten Extremwerte finden.

Dazu verwenden wir das Multiplikatorverfahren nach Lagrange.

Der Kern dieser Methode ist diese Funktion:

Diese werden wir jetzt differenzieren.

Extremwerte sind an Punkten möglich, an denen die Ableitung null ist.

Das sind die sogenannten stationären Punkte.

Wir bekommen sie durch Lösen dieses Gleichungssystems.

Jetzt brauchen wir aber noch eine Gleichung.

Die Nebenbedingung.

Ein Produkt ist dann null, wenn einer der Faktoren null ist.

 

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