Einige spezielle Matrizen

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Beispiel:

DIAGONALMATRIX

eine quadratische Matrix, deren Elemente außerhalb der Hauptdiagonalen null sind

Beispiel:

Bei einer Diagonalmatrix ist also nur die Hauptdiagonale von Interesse, da alle anderen Elemente null sind.

Deshalb neigen manche dazu, nur die Elemente auf der Hauptdiagonalen anzugeben. Dieses merkwürdige Gebilde ist zum Beispiel eine Diagonalmatrix.

EINHEITSMATRIX

eine Matrix I, die mit einer beliebigen Matrix multipliziert wieder A ergibt:

Die Einheitsmatrizen sind Diagonalmatrizen, die auf der Hauptdiagonalen nur Elemente vom Wert eins haben.

INVERSE MATRIX

Die inverse Matrix (oder einfach Inverse) ist eine Matrix, für die gilt:

(rechte Inverse) (linke Inverse)

Wie wir später sehen werden, ist es gar nicht so einfach, die Inverse einer Matrix zu finden.

Bei den reellen Zahlen geht das Invertieren viel einfacher:

hat die Inverse denn

hat die Inverse denn

TRANSPONIERTE MATRIX

entsteht durch Vertauschen der Zeilen und Spalten einer Matrix; Bezeichnung oder

ZEILE SPALTE SPALTE ZEILE

Beispiel:

oder

Eine Matrix, die transponiert sich selbst ergibt, wird als symmetrische Matrix bezeichnet.

Das ist zum Beispiel eine symmetrische Matrix:

All dies mag nicht sehr spannend erscheinen, aber bald werden wir diese Kenntnisse dringend brauchen.

Und jetzt kommen wir zu den Vektoren!

Matrizen mit nur einer Spalte nennen wir Vektoren.

Vektoren bezeichnen wir mit unterstrichenen Kleinbuchstaben.

Hier sind zum Beispiel zwei Vektoren:

ist ein -Vektor und ist ein -Vektor, aber die Angabe von ist überflüssig, denn sie heißen ja gerade deswegen Vektoren, weil sie nur eine Spalte haben.

Es reicht also vollkommen, wenn wir angeben, wie viele Zahlen der Vektor enthält. Diese Zahlen werden als Vektorkoordinaten bezeichnet.

Beruhigenderweise können wir feststellen, dass die soeben kennengelernte Vektordefinition kompatibel ist mit dem, was wir aus der Geometrie als Vektor kennen.

Wenn wir uns zum Beispiel drei Geraden im Raum vorstellen, die senkrecht zueinander stehen, und diese mit Skalen versehen, dann können die geometrischen Vektoren eindeutig als Zahlentripel ausgedrückt werden.

Wenn wir also von Vektoren sprechen, können wir gleichzeitig -Matrizen und geometrische Formen meinen.

Sehen wir jetzt, welche Operationen mit Vektoren möglich sind.

OPERATIONEN MIT VEKTOREN

1. SKALIERUNG

Beispiel:

2. ADDITION

Beispiel:

EIGENSCHAFTEN:

kommutativ:

assoziativ:

3. MULTIPLIKATION

Skalarprodukt: dyadisches Produkt:

EIGENSCHAFTEN:

kommutativ:

nicht assoziativ:

 

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