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Dann haben wir hier noch eine weitere quadratische Form:

Wir wollen zwei Vektoren finden,

einen Vektor , für den

und einen Vektor , für den

Auch hier ist es leicht, einen Vektor zu finden, für den die quadratische Form positiv ist.

Auf einen negativen Wert zu kommen ist schon schwieriger.

Probieren wir es mal damit:

Das ist nicht nur schwierig, sondern sogar unmöglich.

Diese quadratische Form kann also positiv und negativ sein.

Diese quadratische Form hingegen kann nur negativ sein.

Wir werden uns nun mit diesen interessanten Eigenschaften der quadratischen Formen beschäftigen.

Die Form ist

positiv definit, wenn für jeden Vektor

gilt:

negativ definit, wenn für jeden Vektor

gilt:

positiv semidefinit, wenn für jeden Vektor

gilt:

negativ semidefinit, wenn für jeden Vektor

gilt:

indefinit, wenn es und gibt,

für die gilt: und

Bei der Bestimmung der Definitheit hilft uns die Matrix der quadratischen Form.

wenn die Matrix der quadratischen Form positiv definit ist

wenn die Matrix der quadratischen Form negativ definit ist

wenn die Matrix der quadratischen Form positiv semidefinit ist

wenn die Matrix der quadratischen Form negativ semidefinit ist

wenn die Matrix der quadratischen Form indefinit ist

Wir haben hier eine quadratische Form, und wir wollen ihre Definitheit bestimmen.

Sehen wir uns die Matrix an!

Jetzt müssen wir nur noch bestimmen, welche Definitheit die Matrix der quadratischen Form hat.

Dazu sehen wir uns die führenden Hauptminoren an.

Erster führender Hauptminor:

3

Zweiter führender Hauptminor:

Dritter führender Hauptminor:

ganz klar 13

Es scheint sich um eine positiv definite Matrix zu handeln, und somit ist auch die quadratische Form positiv definit.

Sehen wir uns einen weiteren Fall an.

Wir haben hier eine andere quadratische Form, deren Definitheit wir bestimmen wollen.

Jetzt müssen wir nur noch bestimmen, welche Definitheit die Matrix der quadratischen Form hat.

Dazu brauchen wir die führenden Hauptminoren.

Erster führender Hauptminor:

–5

Zweiter führender Hauptminor:

Dritter führender Hauptminor:

Das scheint eine negativ definite Matrix zu sein, und somit ist auch die quadratische Form negativ definit.

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