Determinante, Eigenwert, Eigenvektor

Inhalt des Themas


Definitheit quadratischer Formen

Dann haben wir hier noch eine weitere quadratische Form:

Wir wollen zwei Vektoren finden,

einen Vektor , für den

und einen Vektor , für den

Auch hier ist es leicht, einen Vektor zu finden, für den die quadratische Form positiv ist.

Auf einen negativen Wert zu kommen ist schon schwieriger.

Probieren wir es mal damit:

Das ist nicht nur schwierig, sondern sogar unmöglich.

Diese quadratische Form kann also positiv und negativ sein.

Diese quadratische Form hingegen kann nur negativ sein.

Wir werden uns nun mit diesen interessanten Eigenschaften der quadratischen Formen beschäftigen.

Die Form  ist

positiv definit, wenn für jeden Vektor

gilt:

negativ definit, wenn für jeden Vektor

gilt:

positiv semidefinit, wenn für jeden Vektor

gilt:

negativ semidefinit, wenn für jeden Vektor

gilt:

indefinit, wenn es  und  gibt,

für die gilt:  und

Bei der Bestimmung der Definitheit hilft uns die Matrix der quadratischen Form.

wenn die Matrix  der quadratischen Form positiv definit ist

wenn die Matrix  der quadratischen Form negativ definit ist

wenn die Matrix  der quadratischen Form positiv semidefinit ist

wenn die Matrix  der quadratischen Form negativ semidefinit ist

wenn die Matrix  der quadratischen Form indefinit ist

Wir haben hier eine quadratische Form, und wir wollen ihre Definitheit bestimmen.

Sehen wir uns die Matrix an!

Jetzt müssen wir nur noch bestimmen, welche Definitheit die Matrix der quadratischen Form hat.

Dazu sehen wir uns die führenden Hauptminoren an.

Erster führender Hauptminor:

3

Zweiter führender Hauptminor:

Dritter führender Hauptminor:

ganz klar 13 

Es scheint sich um eine positiv definite Matrix zu handeln, und somit ist auch die quadratische Form positiv definit.

Sehen wir uns einen weiteren Fall an.

Wir haben hier eine andere quadratische Form, deren Definitheit wir bestimmen wollen.

Jetzt müssen wir nur noch bestimmen, welche Definitheit die Matrix der quadratischen Form hat.

Dazu brauchen wir die führenden Hauptminoren.

Erster führender Hauptminor:

–5

Zweiter führender Hauptminor:

Dritter führender Hauptminor:

Das scheint eine negativ definite Matrix zu sein, und somit ist auch die quadratische Form negativ definit.


Was ist die Determinante?

MATRIZEN: DETERMINANTE, EIGENWERT UND EIGENVEKTOR

DEFINITION: Wenn  eine -Matrix ist, dann ist ihre Determinante

p steht dabei für die Permutationen der Spaltenindizes und I(p) für die Inversionszahl dieser Permutationen.

Das ist eine ganz hervorragende Definition, sollte aber noch ein bisschen erläutert werden.

In Wirklichkeit ist das Konzept der Matrixdeterminante ganz einfach.

Es geht darum, dass wir aus jeder Zeile und jeder Spalte der Matrix genau ein Element auswählen und diese Elemente miteinander multiplizieren. Wir machen das in jeder möglichen Kombination, dann versehen wir die Produkte mit einem Vorzeichen, und schließlich addieren wir die vorzeichenbehafteten Produkte.

DETERMINANTE EINER 2×2-MATRIX

Sehen wir uns dazu ein Beispiel an. Hier ist eine Matrix:

Ihre Determinante ist

Die Determinante hat also die Eigenschaft, dass sie jede Matrix auf eine Zahl reduziert.

Bald erfahren wir auch, wozu das gut ist, aber zuerst wollen wir die Determinante einer 3×3-Matrix berechnen.

DETERMINANTE EINER 3×3-MATRIX

Die Determinante einer 3×3-Matrix können wir mit der sogenannten Regel von Sarrus berechnen.

Diese Regel funktioniert so, dass wir die Matrix einfach zweimal hintereinander aufschreiben und dann mit den Hauptdiagonalen und den Nebendiagonalen ein bisschen herumrechnen.

Wir multiplizieren die Elemente auf den Hauptdiagonalen und geben ihnen ein positives Vorzeichen. Dann multiplizieren wir auch die Elemente der Nebendiagonalen, allerdings bekommen diese ein negatives Vorzeichen.

Das ist die Determinante der Matrix.

Leider funktioniert die Methode nur bei 3×3-Matrizen und selbst da macht sie nur mäßig Spaß.

Sinnvoller ist es, wenn wir uns stattdessen den sogenannten Entwicklungssatz merken, der mit jeder n×n-Matrix klarkommt und den wir gleich kennenlernen werden.

DER ENTWICKLUNGSSATZ

Wenn  eine -Matrix ist, dann ist ihre Determinante

 ist hier die Unterdeterminante des Elements .

Keine Panik, in der Praxis funktioniert das viel einfacher.

Sehen wir uns gleich ein Beispiel an.

Hier ist diese 3×3-Matrix:

Wir wollen ihre Determinante berechnen, und zwar entwickeln wir sie nach der ersten Zeile.

Wir können sie aber genauso gut nach der zweiten Zeile entwickeln. Gleich machen wir das auch und vergleichen dann die Ergebnisse, die hoffentlich identisch sein werden.

Die Elemente der ersten Zeile erhalten wechselnde Vorzeichen, und zwar durch  

Noch einfacher wird es, wenn wir uns die sogenannte Schachbrettregel merken.

Die Unterdeterminante sehen wir uns gleich auch noch an!

Aufgrund der Schachbrettregel bekommt das zweite Element ein negatives Vorzeichen.

Das dritte Element erhält dann wieder ein positives Vorzeichen.

Nun kommen die Unterdeterminanten. Diese bekommen wir, indem wir die Zeile und die Spalte des jeweiligen Elements weglassen.

Dann berechnen wir die Determinanten der resultierenden 2×2-Matrizen.

Das war’s.

Was wird wohl passieren, wenn wir nach der zweiten Zeile entwickeln?

Wenn wir nach der zweiten Zeile entwickeln, müssen wir uns auch bei der Schachbrettregel an die zweite Zeile halten.

Wir können aber auch nach der dritten Zeile oder sogar nach Spalten entwickeln.

Das wollen wir gleich ausprobieren und entwickeln nach der dritten Spalte.


Der Entwicklungssatz

DER ENTWICKLUNGSSATZ

Beim Entwicklungssatz geht es im Grunde darum, dass die Berechnung der Determinante einer beliebig großen -Matrix – eine elendige Rechnerei – auf die Determinantenberechnung von -Matrizen zurückgeführt wird, was wesentlich leichter zu handhaben ist.

Der Satz selbst macht zwar einen etwas schroffen Eindruck, aber mit einem Beispiel lässt er sich leicht zähmen.

Sehen wir uns gleich das Beispiel an!

Hier ist diese 4×4-Matrix:

Wir berechnen ihre Determinante, und zwar entwickeln wir sie nach der zweiten Zeile.

Wir können auch nach der ersten Zeile entwickeln und machen das auch gleich,   aber am Ergebnis wird sich nichts ändern.

Die Elemente der zweiten ersten Zeile erhalten wechselnde Vorzeichen durch  

Einfacher ist es aber, wenn wir uns die sogenannte Schachbrettregel merken.

Aufgrund der Schachbrettregel bekommt das erste Element der zweiten Zeile ein negatives Vorzeichen.

Die Unterdeterminante sehen wir uns gleich auch noch an!

Aufgrund der Schachbrettregel bekommt das erste Element der zweiten Zeile ein negatives Vorzeichen.

Das zweite Element bekommt ein Pluszeichen.

Vor das dritte Element kommt wieder ein Minuszeichen – das Element ist übrigens von Haus aus negativ.

Das dritte Element bekommt dann wieder ein positives Vorzeichen.

Nun sind die Unterdeterminanten dran. Diese bekommen wir, indem wir immer die Zeile und die Spalte des jeweiligen Elements weglassen.

Dann berechnen wir der Reihe nach die einzelnen Unterdeterminanten. Das wird ein bisschen dauern.

Wir bringen ein wenig Spannung in die Sache, indem wir nach der ersten Zeile entwickeln.

Jetzt kommt wieder das Schachbrettmuster.

Wir berechnen jetzt die nächste Unterdeterminante.

Wir könnten zum Beispiel nach der dritten Zeile entwickeln,

aber wir können ja auch nach Spalten entwickeln.

Entwickeln wir also nach der dritten Spalte.

Wir können aber auch nach der dritten Zeile entwickeln,

noch spannender ist es aber, nach Spalten zu entwickeln.

Entwickeln wir also nach der dritten Spalte.

Jetzt folgt die nächste 3×3-Determinante.

Wir können nach einer beliebige Zeile oder Spalte entwickeln,

oder aber wir setzen einen kleinen Zaubertrick ein.

Das hat sich bewährt, also machen wir es mit der letzten verbleibenden Determinante genauso.

Damit haben wir die Determinante der ursprünglichen 4×4-Matrix auch schon berechnet!

Wir hätten statt nach der zweiten Zeile zum Beispiel auch nach der vierten Spalte entwickeln können. Machen wir das doch gleich mal!

Wir rechnen und rechnen …


Eigenschaften von Determinanten

und tatsächlich kommt wieder 0 heraus!

DIE DETERMINANTE DER MATRIX  IST NULL, WENN

sie eine Zeile hat, die nur Nullen enthält

sie zwei identische Zeilen hat

eine Zeile das Vielfache einer anderen Zeile ist

eine Zeile die Linearkombination anderer Zeilen ist

all dies gilt auch für Spalten

WENN DIE MATRIX  SO AUS DER MATRIX  ERZEUGT WIRD, DASS

alle Elemente einer Zeile oder einer Spalte mit  multipliziert werden,

alle Elemente aller Zeilen mit  multipliziert werden,

zwei Zeilen oder Spalten vertauscht werden

zu einer Zeile oder Spalte die Linearkombination anderer Zeilen oder Spalten addiert wird

Wir werden jetzt spannende Dinge über Matrixdeterminanten erfahren.

Es gibt einige besondere Matrizen, deren Determinante wir ohne jede Schinderei berechnen können. So zum Beispiel die sogenannten unteren oder oberen Dreiecksmatrizen.

Ihre Determinante ist das Produkt der Elemente auf der Hauptdiagonalen.

Die Einheitsmatrix ist auch eine Dreiecksmatrix.

Die Determinanten haben zudem verschiedene interessante Eigenschaften.

Zu diesen Eigenschaften sehen wir uns jeweils ein Beispiel an.

Schließlich gibt es noch einen wichtigen Lehrsatz: den Multiplikationssatz für Determinanten:

Wenn wir im Lehrsatz statt  wieder  einsetzen

    und sogar   

Und wenn die Matrix  eine Inverse hat, dann gilt gemäß dem Multiplikationssatz

SINGULÄRE UND REGULÄRE MATRIZEN

Die -Matrizen unterteilen wir in zwei große Gruppen: diejenigen, deren Determinante null ist, und diejenigen, die eine von null verschiedene Determinante haben.

Dieser scheinbar kleine Unterschied führt in Wirklichkeit zu einer großen Kluft zwischen den beiden Gruppen.

DIE MATRIX  IST REGULÄR

ES EXISTIERT EINE INVERSE MATRIX

RANG=n

Das Vektorsystem aus den Spaltenvektoren von  ist linear unabhängig

Das Gleichungssystem  hat nur eine Lösung


Singuläre und reguläre Matrizen

Das homogene lineare Gleichungssystem  hat nur eine Lösung (die triviale Lösung)

DIE MATRIX  IST SINGULÄR

ES EXISTIERT KEINE INVERSE MATRIX

RANG<n

Das Vektorsystem aus den Spaltenvektoren von  ist linear abhängig

Das Gleichungssystem  hat entweder unendlich viele Lösungen oder gar keine

Das homogene lineare Gleichungssystem  hat unendlich viele Lösungen

Hier ist zum Beispiel diese Matrix:

Bestimmen wir, für welchen Parameter  die Matrix eine Inverse hat, für welchen Parameter  ihre Determinante 0 ist, und für welchen Parameter  das Gleichungssystem

unendlich viele Lösungen hat.

Wir können alle Fragen auf einen Schlag beantworten, wenn wir die Determinante der Matrix berechnen.

Eine Inverse gibt es dann, wenn die Matrix regulär ist, wenn ihre Determinante also nicht null ist:

Die Determinante ist dann null, wenn

Und schließlich hat das Gleichungssystem  dann unendlich viele Lösungen, wenn die Matrix singulär ist, das heißt wenn ihre Determinante null ist:

EIGENWERT UND EIGENVEKTOR

Jetzt folgen zwei spannende Definitionen, die einander sehr ähnlich sind. Gemeinsam ist ihnen auch, dass man sich erst mal fragt, wozu sie eigentlich gut sind.

EIGENWERT: Der Eigenvektor der Matrix    ist ein von Null verschiedener Vektor , für den es eine reelle Zahl  gibt, sodass Folgendes gilt:

EIGENVEKTOR: Der Eigenwert der Matrix    ist eine reelle Zahl , für die es einen vom Nullvektor verschiedenen Vektor  gibt, sodass Folgendes gilt:

Aber keine Sorge, ein konkretes Beispiel macht alles viel klarer.

Wir haben hier diese wundervolle -Matrix:

Wir wollen jetzt wissen, ob zum Beispiel die Vektoren  und  Eigenvektoren dieser Matrix sind.

Wir beginnen mit dem Vektor . Damit er ein Eigenvektor ist, muss es eine Zahl  geben, für die

Ein solches  gibt es aber leider nicht.

Wenn nämlich , dann stimmt die 9 nicht, und wenn , dann stimmt die 3 nicht.

Wir können es natürlich auch mit weiteren Zahlen probieren. Dann bekommen wir weder 3 noch 9 heraus. Somit ist also der Vektor  kein Eigenvektor der Matrix .

Sehen wir uns jetzt den Vektor  an. Damit er ein Eigenvektor ist, muss es eine Zahl  geben, für die

Ein solches  gibt es tatsächlich: . Der Vektor  ist also ein Eigenvektor der Matrix , und der dazugehörige Eigenwert ist . Als Nächstes gehen wir der Frage nach, wie wir alle Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix finden können.

Wir werden eine allgemeingültige Methode zur Berechnung von Eigenvektoren und Eigenwerten entwickeln, deren Kern darin besteht, dass

Wir lösen nach null auf.

Wir klammern den Vektor  aus.

Hier gibt es ein kleines Problem.

 ergibt nicht viel Sinn, denn das eine ist eine Matrix, und das andere eine Zahl, wie wollen wir da subtrahieren?


Cramersche Regel

Wir müssen daher wieder in die Trickkiste greifen.

Der Trick besteht darin, dass wir die Einheitsmatrix I zur Hilfe rufen. Für jeden Vektor  gilt ja:

Wir schmuggeln hier also die Einheitsmatrix hinein

Jetzt können wir tatsächlich korrekt ausklammern.

Was wir hier haben, ist nichts anderes als ein Gleichungssystem in der Form .

 ist mit Sicherheit eine Lösung, und es gibt noch andere Lösungen, wenn .

Wir interessieren uns jetzt gerade für diese anderen Lösungen, wenn

Wir müssen also herausfinden, wann  ist.

In unserem Fall also   

Das ist eine Gleichung, die wir lösen müssen, und die Lösungen der Gleichung sind genau die gesuchten Eigenwerte.

Wenn wir die resultierenden Eigenwerte hier einsetzen, bekommen wir die Eigenvektoren.

Aber alles schön der Reihe nach!

Berechnen wir die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix  .

1. DIE CHARAKTERISTISCHE GLEICHUNG

Von den Elementen auf der Hauptdiagonalen ziehen wir jeweils  ab, dann setzen wir die resultierende Determinante gleich null. Das ist die charakteristische Gleichung.

Wir subtrahieren:

Wir multiplizieren die Einheitsmatrix mit λ:

2. DIE EIGENWERTE

Die Lösungen der charakteristischen Gleichung  sind die Eigenwerte.

3. DIE EIGENVEKTOREN

Die Lösungen des Gleichungssystems  sind die Eigenvektoren.

Die Eigenvektoren einer -Matrix haben immer  Koordinaten, das zu lösende Gleichungssystem sieht also ungefähr so aus:

Das Gleichungssystem hat immer unendlich viele Lösungen.

1. DIE CHARAKTERISTISCHE GLEICHUNG

Von den Elementen auf der Hauptdiagonalen ziehen wir jeweils  ab, dann setzen wir die resultierende Determinante gleich null.

2. DIE EIGENWERTE

Die Lösungen der charakteristischen Gleichung  sind die Eigenwerte.

3. DIE EIGENVEKTOREN

Die Lösungen des Gleichungssystems  sind die Eigenvektoren.

Die Eigenvektoren einer -Matrix haben immer  Koordinaten.

Wir müssen dieses Gleichungssystem lösen:

Das Gleichungssystem hat immer unendlich viele Lösungen.

Von den Elementen auf der Hauptdiagonalen ziehen wir jeweils  ab,

dann entwickeln wir die Determinante:

Die resultierende Gleichung ist die charakteristische Gleichung.

Die Lösungen der Gleichung sind die Eigenwerte:

 und

Welche Eigenvektoren gehören jetzt zu diesen Eigenwerten? Da  eine -Matrix ist, haben die Eigenvektoren zwei Koordinaten:

Suchen wir jetzt die dazugehörigen Eigenvektoren.

Die zwei Eigenwerte haben wir schon:  und


Eigenwert und Eigenvektor (Basistransformation)

Jetzt gibt es zwei Eigenwerte, also haben wir zwei Gleichungssysteme.

Bei einem ist , und beim anderen ist

Bei einem Gleichungssystem ist , und beim anderen ist

Wir lösen das Gleichungssystem durch Basistransformation. Sollten deine Erinnerungen diesbezüglich schon etwas verblasst sein, kannst du deine Kenntnisse im gleichnamigen Themenbereich auf lockere Weise auffrischen.

Die Eigenvektoren:

Der zweite Eigenvektor ist nicht weniger spannend:

Die Basistransformation ist damit beendet, und wir können die Lösungen ablesen.

Die oben gebliebenen  nennen wir t und s.

Sehen wir uns die Eigenwerte und Eigenvektoren dieser -Matrix an.

Wir entwickeln die Determinante nach der ersten Zeile:

Die Elemente der ersten Zeile werden mit abwechselnden Vorzeichen versehen.

Wir entwickeln auch die 2x2-Determinanten.

 
 

Dann fassen wir ein wenig zusammen. Das ist jetzt aber ordentlich einfacher geworden.

Irgendwie müssen wir diese Gleichung lösen, denn ihre Lösungen sind die Eigenwerte.

Die Lösungen der charakteristischen Gleichung sind die Eigenwerte.

Vorausgesetzt, wir können die Gleichung überhaupt lösen.

Hier sind drei nützliche Tipps zum Lösen solcher Gleichungen:

 das konstante Glied entfällt


Berechnung der Eigenwerte und Eigenvektoren einer 3x3-Matrix (Basistransformation)

In allen drei Fällen erhalten wir ein Produkt aus einer linearen Gleichung und einer quadratischen Gleichung, die wir separat lösen können.

Es gibt natürlich auch kubische Gleichungen, die schwieriger zu lösen sind, aber von diesen bleiben wir zum Glück meist verschont.

Schauen wir jetzt mal, welche der drei Methoden sich in unserem Fall bewährt.

Wir klammern 2 aus.

Die zweite Methode funktioniert hier nicht. Wir versuchen es also mit der trickreichen dritten Methode, vielleicht haben wir damit mehr Glück.

Wir lösen den quadratischen Teil auf, und dann versuchen wir, ihn in ein Produkt umzuformen.

Wir kennen die Formel

Zur Erinnerung:

Wir formen den quadratischen Teil in ein Produkt um

Wunderbar, jetzt können wir nämlich ausklammern:

Hier fassen wir noch zusammen, und schon haben wir die Lösung.

Es gibt drei Eigenwerte, oder eigentlich nur zwei, denn  ist ein doppelter Eigenwert.

Jetzt sind wir bereit für die Eigenvektoren!

Wir lösen das Gleichungssystem wie gewohnt durch Basistransformation.

Sollten deine Erinnerungen an diese Methode schon etwas verblasst sein, kannst du sie gerne mit unseren Bildreihen zur Basistransformation auffrischen.

Wir setzen  ein.

Wir lösen durch Basistransformation:

Hier ist Schluss mit der Basistransformation.

Wenn gleich zwei x oben bleiben,

nennen wir das eine t, das andere s.

Jetzt ist auch hier Schluss.

Hier ist nur ein x oben geblieben, und da  und  schon besetzt sind, nennen wir es .

Der Eigenvektor bei  

 wobei

Und

Wir lösen durch Basistransformation:

Der Eigenvektor bei  

Wenn eine -Matrix  linear unabhängige Eigenvektoren hat, kann die Matrix auf eine sogenannte Diagonalform gebracht werden.

Die Diagonalform sieht so aus:


Diagonalform von Matrizen (Basistransformation)

Die Hauptdiagonale enthält die Eigenwerte, und alle anderen Elemente sind null.

Die Diagonalform wird wie folgt erzeugt:

Hier ist  – das heißt, wir nehmen einfach die Eigenvektoren und schreiben sie hintereinander auf.

Sehen wir uns dazu ein Beispiel an.

Bringen wir diese -Matrix auf Diagonalform.

1. CHARAKTERISTISCHE GLEICHUNG AUFSCHREIBEN

Von den Elementen auf der Hauptdiagonalen ziehen wir jeweils  ab, und wir nehmen ihre Determinante:

Wir entwickeln die Determinante nach der ersten Zeile:

2. DIE LÖSUNGEN DER CHARAKTERISTISCHEN GLEICHUNG SIND DIE EIGENWERTE

Es gibt jetzt drei Eigenwerte: ,  und .

Wir suchen zu allen drei Eigenwerten den entsprechenden Eigenvektor.

 3. EIGENVEKTOREN ZU DEN EIGENWERTEN ERMITTELN

Die Eigenvektoren erhalten wir, indem wir das Gleichungssystem  lösen:

Wir lösen die Gleichungssysteme durch Basistransformation.

Wer in Sachen Basistransformation nicht mehr ganz fit ist, kann sich den entsprechenden Teil gern noch einmal vornehmen.

Die Basistransformation kann nicht fortgesetzt werden, wir können  nicht herunterholen, also nennen wir es .

Wir lesen die Lösung ab.

Der zum Eigenwert  gehörende Eigenvektor:

 wobei

Und jetzt zu den restlichen Eigenvektoren. Wir müssen wieder das Gleichungssystem  lösen:

Wir setzen  ein.

Wir lösen durch Basistransformation:

Der zum Eigenwert  gehörende Eigenvektor:

 wobei

und

Wir lösen durch Basistransformation:

Der zum Eigenwert  gehörende Eigenvektor:

 wobei

Es scheint drei unabhängige Eigenvektoren zu geben, das heißt, wir können die Matrix diagonalisieren. Die diagonalisierende Matrix ist


Diagonalform von Matrizen (Gauß)

Die ursprüngliche Matrix wird mithilfe der diagonalisierenden Matrix auf Diagonalform gebracht:

Es wäre jedoch überflüssig, die Multiplikationen durchzuführen, denn die Diagonalform sieht immer so aus, dass die Eigenwerte auf der Hauptdiagonale stehen und alle anderen Elemente null sind.

Die Eigenwerte kennen wir schon:        

Die Diagonalform lautet also:

Als Nächstes lernen wir ein paar unterhaltsame Begriffe zum Thema Matrizen kennen.

Der erste Begriff lautet führender Hauptminor (auch als Hauptabschnittsdeterminante bekannt).

Hier ist eine Matrix:

Der erste führende Hauptminor ist diese 2 hier.

Der zweite führende Hauptminor ist die -Determinante in der oberen linken Ecke.

Und der dritte führende Hauptminor ist die -Determinante in der oberen linken Ecke.

Die Berechnung ist ziemlich langweilig, aber mit dem Entwicklungssatz kommen wir auf …

Der vierte Hauptminor schließlich ist die Determinante der gesamten Matrix.

Diese zu berechnen ist noch langweiliger, aber der Entwicklungssatz ergibt …

Das zweite höchst interessante Konzept ist die Definitheit von Matrizen.

Zum Feststellen der Definitheit brauchen wir die Hauptminoren, die wir gerade kennengelernt haben, genauer gesagt ihre Vorzeichen.

In unserem aktuellen Beispiel ist der erste führende Hauptminor positiv, der zweite ebenfalls, und der dritte ist negativ.

Wie sieht es dann mit der Definitheit aus?

Die -Matrix  ist

positiv definit,

wenn

negativ definit,

wenn

positiv semidefinit,

wenn

negativ semidefinit,

wenn

indefinit,

wenn

Die -Matrix  ist positiv definit, wenn

jeder Eigenwert :

jeder Eigenwert :

jeder Eigenwert :

jeder Eigenwert :

die Eigenwerte  und  existieren

 und

Bei -Matrizen kann die Definitheit auch anhand der führenden Hauptminoren bestimmt werden:

beide führenden Hauptminoren positiv

erster negativ, zweiter positiv

erster positiv, zweiter null

erster negativ, zweiter null

in allen anderen Fällen

Bei -Matrizen ist es schon schwieriger, die Definitheit anhand der führenden Hauptminoren zu bestimmen:

alle Hauptminoren positiv

abwechselnd   –  +  –  +

und mit Minus beginnend

Wenn  und nicht die beiden genannten Fälle vorliegen, ist die Matrix mit Sicherheit indefinit.

Wenn , dann ist keine Aussage möglich, die Definitheit kann nur durch Berechnung der Eigenwerte bestimmt werden.

Sehen wir uns jetzt einige Matrizen an und bestimmen wir ihre Definitheit.

Bestimmen wir die Definitheit dieser Matrizen.

Die Eigenwerte berechnen wir nur als letzten Ausweg, wenn uns die führenden Hauptminoren nicht weiterbringen. Beginnen wir mit .


Definitheit von Matrizen

Erster führender Hauptminor:

Zweiter führender Hauptminor:

Dritter führender Hauptminor:

Alle führenden Hauptminoren der Matrix  sind positiv, also ist die Matrix positiv definit.

Schauen wir jetzt die Matrix  an.

Erster führender Hauptminor:

Zweiter führender Hauptminor:

Dritter führender Hauptminor:

Hier brauchen wir wieder den Entwicklungssatz, aber ich will niemanden damit langweilen – das Ergebnis ist –15

Die führenden Hauptminoren von  haben wechselnde Vorzeichen: – + – + – … die Matrix ist also negativ definit.

Jetzt ist  dran.

Erster führender Hauptminor:

Zweiter führender Hauptminor:

Dritter führender Hauptminor:

Wieder Entwicklungssatz, aber wir machen es kurz, das Ergebnis ist 1.

Auch hier haben die führenden Hauptminoren wechselnde Vorzeichen, aber die Reihenfolge ist jetzt + – +

Für negative Definitheit muss die Reihe mit Minus beginnen, diese Matrix ist also schon mal nicht negativ definit.

Aber auch nicht positiv definit, denn dazu müssten alle führenden Hauptminoren positiv sein. Die verbleibenden Möglichkeiten sind damit semidefinit (positiv/negativ) und indefinit.

Bei semidefiniten Matrizen ist allerdings die Determinante null.

Hier ist  – ganz klar nicht null, also indefinit.

Die Matrix  kann wegen der führenden Hauptminoren nicht positiv oder negativ definit sein, und wegen  auch nicht semidefinit, sie muss also indefinit sein.

Schauen wir schließlich, wie es sich mit  verhält.

Erster führender Hauptminor:

Zweiter führender Hauptminor:

Dritter führender Hauptminor:

Schlimmer hätte es gar nicht kommen können.

Wenn die Determinante null ist, dann ist die Matrix entweder positiv/negativ semidefinit oder indefinit – aber das können wir nur entscheiden, wenn wir ihre Eigenwerte berechnen.

Wenden wir uns also den Eigenwerten zu.

Wir entwickeln die Determinante nach der untersten Zeile.

Das Ganze hier ist null, also können wir es gleich weglassen.

Wir können nichts ausklammern, also lösen wir die Klammern auf.

Dann fassen wir zusammen,

und schließlich klammern wir aus.

Die Eigenwerte:

Wir klammern 3 aus

Bei jedem Eigenwert  ist die Bedingung  erfüllt, somit ist die Matrix positiv semidefinit.

Auch hier gibt es drei unterschiedliche Eigenwerte, und da zu unterschiedlichen Eigenwerten immer auch unterschiedliche Eigenvektoren gehören, haben wir drei linear unabhängige Eigenvektoren.

Somit ist auch  diagonalisierbar.


Quadratische Formen

Sehen wir uns die ähnlichen Matrizen an!

Drei Matrizen entstammen derselben Abbildung und sind nur in verschiedenen Basen dargestellt, die vierte Matrix hingegen ist unterschiedlich.

Wenn  eine symmetrische -Matrix ist und  ein Vektor in , dann wird der Ausdruck

quadratische Form genannt.

Diese quadratischen Formen sind sehr umgängliche Geschöpfe. Sehen wir uns gleich ein Beispiel dazu an.

Nehmen wir zum Beispiel

  und 

Die dazugehörige quadratische Form ist

Rechnen wir das aus. Wir müssen multiplizieren, und wir beginnen von hinten.

Jetzt multiplizieren wir noch diese beiden.

Dann lösen wir die Klammern auf.

Das ist die quadratische Form.

Quadratisch heißt sie deswegen, weil sie immer ein homogen-quadratischer Ausdruck ist. Dies bedeutet, dass die x-Werte entweder im Quadrat vorkommen, oder aber linear, aber multipliziert mit einem anderen linearen Glied, was wiederum als quadratisch gilt.

Sehen wir uns noch eine weitere quadratische Form an.

  und 

 ist jetzt eine -Matrix, und somit hat auch der Vektor  3 Koordinaten.

Die Multiplikationen durchzuführen wäre aber eine ziemliche Quälerei, zumal wir jetzt eine -Matrix vor uns haben.

Zum Glück kennen wir einen Trick. Er ist eigentlich gar nicht so raffiniert.

Die quadratische Form sieht ungefähr so aus: Sie wird  enthalten, dann noch  und , und es wird auch gemischte Glieder geben.

Die Frage ist nur, wie viele es davon jeweils gibt. Die Antwort gibt uns die Matrix .

Und schon sind wir fertig.

Die Sache funktioniert auch andersherum: Wenn wir eine quadratische Form haben, können wir daraus ihre Matrix erzeugen.

Das passt auch schon:

Wir haben hier eine quadratische Form:

Wir wollen zwei Vektoren finden,

einen Vektor , für den

und einen Vektor , für den

Ein Vektor, für den die quadratische Form positiv ist, findet sich leicht.

Einen zu finden, für den sie negativ wird, ist schon schwieriger, aber nicht unmöglich.