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Erster führender Hauptminor:

Zweiter führender Hauptminor:

Dritter führender Hauptminor:

Alle führenden Hauptminoren der Matrix sind positiv, also ist die Matrix positiv definit.

Schauen wir jetzt die Matrix an.

Erster führender Hauptminor:

Zweiter führender Hauptminor:

Dritter führender Hauptminor:

Hier brauchen wir wieder den Entwicklungssatz, aber ich will niemanden damit langweilen – das Ergebnis ist –15

Die führenden Hauptminoren von haben wechselnde Vorzeichen: – + – + – … die Matrix ist also negativ definit.

Jetzt ist dran.

Erster führender Hauptminor:

Zweiter führender Hauptminor:

Dritter führender Hauptminor:

Wieder Entwicklungssatz, aber wir machen es kurz, das Ergebnis ist 1.

Auch hier haben die führenden Hauptminoren wechselnde Vorzeichen, aber die Reihenfolge ist jetzt + – +

Für negative Definitheit muss die Reihe mit Minus beginnen, diese Matrix ist also schon mal nicht negativ definit.

Aber auch nicht positiv definit, denn dazu müssten alle führenden Hauptminoren positiv sein. Die verbleibenden Möglichkeiten sind damit semidefinit (positiv/negativ) und indefinit.

Bei semidefiniten Matrizen ist allerdings die Determinante null.

Hier ist – ganz klar nicht null, also indefinit.

Die Matrix kann wegen der führenden Hauptminoren nicht positiv oder negativ definit sein, und wegen auch nicht semidefinit, sie muss also indefinit sein.

Schauen wir schließlich, wie es sich mit verhält.

Erster führender Hauptminor:

Zweiter führender Hauptminor:

Dritter führender Hauptminor:

Schlimmer hätte es gar nicht kommen können.

Wenn die Determinante null ist, dann ist die Matrix entweder positiv/negativ semidefinit oder indefinit – aber das können wir nur entscheiden, wenn wir ihre Eigenwerte berechnen.

Wenden wir uns also den Eigenwerten zu.

Wir entwickeln die Determinante nach der untersten Zeile.

Das Ganze hier ist null, also können wir es gleich weglassen.

Wir können nichts ausklammern, also lösen wir die Klammern auf.

Dann fassen wir zusammen,

und schließlich klammern wir aus.

Die Eigenwerte:

Wir klammern 3 aus

Bei jedem Eigenwert ist die Bedingung erfüllt, somit ist die Matrix positiv semidefinit.

Auch hier gibt es drei unterschiedliche Eigenwerte, und da zu unterschiedlichen Eigenwerten immer auch unterschiedliche Eigenvektoren gehören, haben wir drei linear unabhängige Eigenvektoren.

Somit ist auch diagonalisierbar.

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