Barion Pixel Lösen von Exponentialgleichungen, Textaufgaben | MATHEKING
 
Verschiedene Tricks zum Lösen von Exponentialgleichungen; auf gemeinsame Basis bringen und andere schlaue Dinge. Mit Exponentialgleichungen zu lösende Textaufgaben; radioaktiver Zerfall und Konsorten. Vorgänge, die durch eine Exponentialfunktion beschrieben werden können.
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Lösen von Exponentialgleichungen: Nun werden wir ein Paar ganz fantastische Exponentialgleichungen lösen. Hier ist auch schon die erste Gleichung: Das ist es, was wir immer im Hinterkopf haben müssen: Wichtig ist das natürlich nur, wenn wir eine solche Gleichung tatsächlich lösen wollen ... Mal sehen: Bingo! Das war es auch schon. Eine Sache noch. Bei diesem Schritt schreiben wir noch Folgendes hin: aufgrund der strengen Monotonie der Exponentialfunktion Und schon kommt die nächste Herausforderung: Die beiden Potenzen haben nicht die gleiche Basis … aber wir geben nicht auf. Wie könnten wir nun diese Gleichung knacken: Und jetzt suchen wir uns etwas Spannenderes. Die Generationszeit einer Bakterienkultur soll 25 Minuten betragen. Das bedeutet, dass sich in dieser Zeit die Anzahl der Bakterien in der Kultur verdoppelt. Zu Beginn enthielt die Kultur 5 Milligramm Bakterien. Welches Gewicht hat die Kultur nach zwei Stunden? Wir zeichnen mal ein Diagramm. Mit dieser kleinen Formel können wir berechnen, wie schwer unsere Bakterien gerade sind: x steht hier für die Anzahl der abgelaufenen 25-Minuten-Einheiten. Wir betrachten einen Zeitraum von 2 Stunden, das heißt 120 Minuten: So viele Milligramm Bakterien haben wir also nach 120 Minuten. Eine andere Bakterienart hat eine Generationszeit von 12 Minuten – das heißt, alle 12 Minuten verdoppelt sich die Bakterienzahl. In einer Kultur messen wir nun 736 Milligramm Bakterien. Wie viel Zeit ist seit dem Zeitpunkt vergangen, als die Kultur nur 23 Milligramm wog? Die Geschichte geht also so: Zu Beginn gab es 23 Milligramm, und am Ende waren es 736: Aber x = 5 heißt nicht fünf Minuten … x = 5 bedeutet vielmehr, dass fünf Generationszeiten vergangen sind: Das sind 60 Minuten. Bei radioaktiven Substanzen gibt die Halbwertszeit an, in welcher Zeit sich die Anzahl der Kerne im radioaktiven Material halbiert. Bei Plutonium-239 beträgt zum Beispiel die Halbwertszeit 24.000 Jahre – bei Strontium-90 hingegen nur 25 Jahre. Diese supertolle Formel verrät uns, wie sich beim radioaktiven Zerfall die Anzahl der Kerne im Zeitverlauf ändert. Zugegeben, auf den ersten Blick eine ausgesprochen hässliche Formel. Aber wir werden gleich sehen, dass sie doch nicht so ganz schlimm ist. Wenn wir ein Gebiet haben, das mit Strontium-90 verseucht ist – um wie viel Prozent nimmt die Zahl der radioaktiven Kerne in 40 Jahren ab? Und um wie viel Prozent nimmt die Menge an Strontium-90 in 100 Jahren ab? Die Halbwertszeit von Strontium-90 beträgt 25 Jahre. Unsere Formel sieht also in etwa so aus: Wenn 40 Jahre vergangen sind, ersetzen wir t durch 40: Wir geben das mal in den Rechner ein … In 40 Jahren sinkt also die Anzahl der Strontium-90-Kerne auf 33%. Was passiert nun in 100 Jahren? Bei 100 Jahren tragen wir eben 100 für t ein: In 100 Jahren fällt also die Anzahl der radioaktiven Kerne auf 6,3%.
 

Lösen von Exponentialgleichungen, Textaufgaben

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